Calcular os limites, aplicando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
aplicando a regra de L’Hospital. Esse é um limite do tipo
, pois quando
temos
,
e, portanto, o numerador e o denominador vão a zero.
Passo 2
Como é indeterminação
, aplicamos L’Hospital: derivamos numerador e denominador em relação a
.
A derivada do numerador é
A derivada do numerador
e a derivada do denominador
é
Logo o limite vira
Passo 3
Observamos que
pois
. Então podemos reescrever o limite como
Passo 4
Para simplificar, escrevemos
e usamos a identidade
. Assim
Passo 5
Basta agora avaliar em
: temos
, logo