Calcular os limites, aplicando a regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} x-x}{x-\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x - x}{x - \sin x}
aplicando a regra de L’Hospital. Esse é um limite do tipo \tfrac{0}{0}, pois quando x\to0 temos \tan x\to0, \sin x\to0 e, portanto, o numerador e o denominador vão a zero.

Passo 2

Como é indeterminação \tfrac{0}{0}, aplicamos L’Hospital: derivamos numerador e denominador em relação a x.
A derivada do numerador \tan x - x é
\frac{d}{dx}(\tan x - x) = \operatorname{sec}^2 x - 1
e a derivada do denominador x - \sin x é
\frac{d}{dx}(x - \sin x) = 1 - \cos x.
Logo o limite vira
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sec}^2 x - 1}{1 - \cos x}.

Passo 3

Observamos que
\operatorname{sec}^2 x - 1 = \tan^2 x
pois \operatorname{sec}^2 x = 1 + \tan^2 x. Então podemos reescrever o limite como
\lim_{x\to0}\frac{\tan^2 x}{1 - \cos x}.

Passo 4

Para simplificar, escrevemos \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} e usamos a identidade \sin^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x). Assim
\frac{\tan^2 x}{1 - \cos x} =\frac{\sin^2 x/\cos^2 x}{1 - \cos x} =\frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos^2 x\,(1 - \cos x)} =\frac{1 + \cos x}{\cos^2 x}.

Passo 5

Basta agora avaliar em x\to0: temos \cos x\to1, logo
\lim_{x\to0}\frac{1 + \cos x}{\cos^2 x} =\frac{1 + 1}{1^2} =2.

Resposta

2

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