Calcule:
\int(\mathbf{3} \boldsymbol{x}-\mathbf{1})^{\mathbf{5}} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
\int (3x - 1)^{5}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, que nos ajuda a integrar funções compostas.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x - 1,
para simplificar a expressão interna da potência.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u, obtemos
\int (3x - 1)^{5}\,dx = \int u^{5}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{5}\,du.

Passo 5

Agora integramos u^{5}:
\frac{1}{3}\int u^{5}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{6}}{6} + C = \frac{u^{6}}{18} + C.
Substituindo de volta u = 3x - 1, fica
\frac{(3x - 1)^{6}}{18} + C.

Resposta

\int (3x - 1)^{5}\,dx = \frac{(3x - 1)^{6}}{18} + C.

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