Calcule os pontos de máximos relativos e/ou os pontos de mínimos relativos das seguintes funções:
f(x)=x^{4}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de máximos relativos e mínimos relativos da função
f(x)=x^{4}-x^{2}.
O conteúdo envolve cálculo de derivadas e o teste da segunda derivada para classificar extremos.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada primeira e encontramos os pontos críticos, isto é, os x em que f'(x)=0.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-x^{2}\bigr)=4x^{3}-2x.
Para achar as raízes, fatoramos:
4x^{3}-2x=2x\,(2x^{2}-1)=0
Logo, os pontos críticos são
x=0,\quad 2x^{2}-1=0\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Calculamos a derivada segunda e avaliamos nos pontos críticos para classificar extremos.
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-2x\bigr)=12x^{2}-2.
Avaliações:
f''(0)=12\cdot0^{2}-2=-2<0\quad\Rightarrow\;\text{máximo relativo em }x=0;á
f''\bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) =12\cdot\frac{1}{2}-2=6-2=4>0 \quad\Rightarrow\;\text{mínimos relativos em }x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}.í
Para anotar as coordenadas, precisamos do valor de f nesses pontos:
f(0)=0^{4}-0^{2}=0, \qquad f\Bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)^{4} -\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2} =\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4}.

Resposta

Máximo relativo em \bigl(0,0\bigr).
Mínimos relativos em \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{4}\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{4}\bigr).

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