Uma folha de papel usada para impressão tem área de 900 \mathrm{~cm}^{2}. As margens na parte superior e inferior são de 4 cm e as margens laterais são de 1 cm . Determine as dimensões da folha sabendo que a área impressa é máxima.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de uma folha de área total \,900\text{ cm}^2 de modo que a área aproveitável (impressa), descontadas margens de 1 cm nas laterais e 4 cm em cima e embaixo, seja máxima. O conteúdo é otimização de função com restrição de área fixa.

Passo 2

Sejam x a largura e y a altura da folha. A condição de área total é
xy = 900.
As margens laterais consomem 2 cm de largura e as margens verticalmente consomem 8 cm de altura, de modo que a área impressa é
A = (x - 2)\,(y - 8).
Usando y = 900/x, escrevemos A como função de x:
A(x) = (x - 2)\Bigl(\frac{900}{x} - 8\Bigr).

Passo 3

Expandindo e simplificando, obtemos
A(x) = 900 - 8x - \frac{1800}{x} + 16 = 916 - 8x - \frac{1800}{x}.
Para achar o extremo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = -8 + \frac{1800}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad -8 + \frac{1800}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 225 \quad\Longrightarrow\quad x = 15\\ (\text{cm}).

Passo 4

Verificamos que A''(x) = -\tfrac{3600}{x^3}, que em x=15 é negativo, confirmando que é um máximo local.

Passo 5

A altura correspondente é
y = \frac{900}{x} = \frac{900}{15} = 60\\ (\text{cm}).

Resposta

A folha deve medir 15\text{ cm} de largura por 60\text{ cm} de altura.

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