Calcular os limites.
(h)
(h)
Passo 1
Enunciado: calcular
.
Informações dadas: a função a examinar é a racional .
Pergunta: qual é o valor do limite quando se aproxima de
?
Informações dadas: a função a examinar é a racional
Pergunta: qual é o valor do limite quando
Passo 2
Primeira tentativa simples: avaliar numerador e denominador em
. Calculo do numerador:
Cálculo do denominador:
Portanto, usando substituição direta, a expressão em
é
.
Passo 3
Explicação didática do porquê a substituição direta é válida: polinômios são funções contínuas em todo lugar; uma função racional
é contínua em pontos onde
. Aqui
dá
, então a função é contínua em
e vale a regra de que
Logo o limite é
. Isso já resolve o problema diretamente.
Passo 4
Vou mostrar também um método alternativo (útil quando a substituição direta leva a indeterminação): fatoração. Primeiro fatoramos o numerador usando diferença de quadrados:
pois
. Agora fatoramos o denominador procurando raízes de
; os fatores são
(Verifique:
.)
Passo 5
Depois da fatoração a fração fica
Podemos simplificar cancelando o fator
desde que
. Como estamos calculando o limite quando
, estamos interessados em valores de
próximos de
, onde
, então a simplificação é válida na vizinhança de
. Após cancelar obtemos a função equivalente nessa vizinhança:
Passo 6
Agora aplicamos substituição direta na forma simplificada (que é claramente contínua em
porque
):
Resultado compatível com o método pela continuidade usado antes.
Passo 7
Conclusão e interpretação: o limite existe e vale
. Observação pedagógica rápida: quando a substituição direta produz
no numerador e denominar diferente de
, o limite é
. Quando ambos dão
(indeterminação
), a fatoração ou outras técnicas (como l’Hôpital) são necessárias.