Calcular os limites.
(h) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x^{2}+3 x+2}

Passo 1

Enunciado: calcular \lim_{x\to 1} \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+3x+2}.
Informações dadas: a função a examinar é a racional \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+3x+2}.
Pergunta: qual é o valor do limite quando x se aproxima de 1?

Passo 2

Primeira tentativa simples: avaliar numerador e denominador em x=1. Calculo do numerador:
1^{2}-1=1-1=0.
Cálculo do denominador:
1^{2}+3\cdot 1+2=1+3+2=6.
Portanto, usando substituição direta, a expressão em x=1 é \dfrac{0}{6}=0.

Passo 3

Explicação didática do porquê a substituição direta é válida: polinômios são funções contínuas em todo lugar; uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} é contínua em pontos onde Q(x)\neq 0. Aqui x=1 Q(1)=6\neq 0, então a função é contínua em 1 e vale a regra de que
\lim_{x\to 1}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P(1)}{Q(1)}.
Logo o limite é 0. Isso já resolve o problema diretamente.

Passo 4

Vou mostrar também um método alternativo (útil quando a substituição direta leva a indeterminação): fatoração. Primeiro fatoramos o numerador usando diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
pois a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Agora fatoramos o denominador procurando raízes de x^{2}+3x+2; os fatores são
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
(Verifique: (x+1)(x+2)=x^{2}+3x+2.)

Passo 5

Depois da fatoração a fração fica
\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}.
Podemos simplificar cancelando o fator (x+1) desde que x\neq -1. Como estamos calculando o limite quando x\to 1, estamos interessados em valores de x próximos de 1, onde x+1\neq 0, então a simplificação é válida na vizinhança de 1. Após cancelar obtemos a função equivalente nessa vizinhança:
\frac{x-1}{x+2}.

Passo 6

Agora aplicamos substituição direta na forma simplificada (que é claramente contínua em x=1 porque 1+2\neq 0):
\frac{1-1}{1+2}=\frac{0}{3}=0.
Resultado compatível com o método pela continuidade usado antes.

Passo 7

Conclusão e interpretação: o limite existe e vale 0. Observação pedagógica rápida: quando a substituição direta produz 0 no numerador e denominar diferente de 0, o limite é 0. Quando ambos dão 0 (indeterminação 0/0), a fatoração ou outras técnicas (como l’Hôpital) são necessárias.

Resposta

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