Calcular os limites.
(v)
(v)
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
O problema é calcular o limite
O problema é calcular o limite
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A expressão no numerador é
. - O denominador é
. - Avaliando em
obtemos numerador e denominador . Logo a forma é indeterminada .
O que nos pedem: determinar o valor desse limite quandose aproxima de (dois lados, já que é limite usual).
Passo 2
Estratégia: vou usar a substituição
com
(ou seja,
). Isso é prático para desenvolver em série as funções envolvidas (como
) e ver o comportamento principal do numerador em termos de
. Explico rapidinho por que isso ajuda: quando temos uma indeterminação
, muitas vezes a ordem do zero no numerador e no denominador é diferente; ao desenvolver em potências de
conseguimos ver qual termo lidera e daí concluir o comportamento do quociente.
Passo 3
Calculemos as expansões em
.
Escrevendo
, temos:
Aproximação de
por série (expansão binomial) até termo em
:
(Esse desenvolvimento vem do binômio de Newton para expoente
; os coeficientes são
,
, etc.)
Agora formamos a combinação do numerador:
Faço as subtrações termo a termo:
- Termos constantes:
. - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a raiz cúbica no numerador. Escrevo o argumento da raiz cúbica como fatorado por
:
Logo
Usando a expansão
para
, obtemos
Portanto, para
pequeno,
Em palavras: o numerador comporta-se como
quando
.
Passo 5
Escrevemos o quociente em termos de
. O denominador é
. Assim
Agora analisamos o comportamento de
quando
:
- Se
(isto é, ), então . - Se
(isto é, ), então porque preserva o sinal de (raiz cúbica de número negativo é negativa) e o denominador é sempre positivo, logo o quociente tem sinal de .
Portanto as duas limites laterais não coincidem: o limite pela direita é
e pela esquerda é
. Consequência: o limite bilateral
não existe (diverge).
Resposta
Não existe;
e
.