Calcular os limites.
(v) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}-2 \sqrt{x}+1}}{(x-1)^{2}}

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
O problema é calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x^{2}-2\sqrt{x}+1}}{(x-1)^{2}}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A expressão no numerador é \sqrt[3]{x^{2}-2\sqrt{x}+1}.
  • O denominador é (x-1)^{2}.
  • Avaliando em x=1 obtemos numerador \sqrt[3]{1-2\cdot1+1}=\sqrt[3]{0}=0 e denominador (1-1)^{2}=0. Logo a forma é indeterminada 0/0.
    O que nos pedem: determinar o valor desse limite quando x se aproxima de 1 (dois lados, já que é limite usual).

Passo 2

Estratégia: vou usar a substituição x=1+h com h\to 0 (ou seja, h=x-1). Isso é prático para desenvolver em série as funções envolvidas (como \sqrt{1+h}) e ver o comportamento principal do numerador em termos de h. Explico rapidinho por que isso ajuda: quando temos uma indeterminação 0/0, muitas vezes a ordem do zero no numerador e no denominador é diferente; ao desenvolver em potências de h conseguimos ver qual termo lidera e daí concluir o comportamento do quociente.

Passo 3

Calculemos as expansões em h.
Escrevendo x=1+h, temos:
x^{2}=(1+h)^{2}=1+2h+h^{2}.
Aproximação de \sqrt{1+h} por série (expansão binomial) até termo em h^{2}:
\sqrt{1+h}=(1+h)^{1/2}=1+\frac{1}{2}h-\frac{1}{8}h^{2}+O(h^{3}).
(Esse desenvolvimento vem do binômio de Newton para expoente 1/2; os coeficientes são \tfrac12, -\tfrac{1}{8}, etc.)
Agora formamos a combinação do numerador:
x^{2}-2\sqrt{x}+1=(1+2h+h^{2})-2\left(1+\frac{1}{2}h-\frac{1}{8}h^{2}+O(h^{3})\right)+1.
Faço as subtrações termo a termo:
  • Termos constantes: 1 -2\cdot1 +1 =0.
  • Coeficiente de h: 2h -2\cdot\frac{1}{2}h = 2h - h = h.
  • Coeficiente de h^{2}: h^{2} -2\cdot\left(-\frac{1}{8}h^{2}\right)=h^{2} +\frac{1}{4}h^{2}=\frac{5}{4}h^{2}.
    Portanto
x^{2}-2\sqrt{x}+1 = h + \frac{5}{4}h^{2} + O(h^{3}).

Passo 4

Agora aplicamos a raiz cúbica no numerador. Escrevo o argumento da raiz cúbica como fatorado por h:
x^{2}-2\sqrt{x}+1 = h\left(1+\frac{5}{4}h + O(h^{2})\right).
Logo
\sqrt[3]{x^{2}-2\sqrt{x}+1} = \sqrt[3]{h}\,\sqrt[3]{1+\frac{5}{4}h + O(h^{2})}.
Usando a expansão (1+u)^{1/3}=1+\frac{1}{3}u+O(u^{2}) para u=\tfrac{5}{4}h+O(h^{2}), obtemos
\sqrt[3]{1+\frac{5}{4}h + O(h^{2})}=1+O(h).
Portanto, para h pequeno,
\sqrt[3]{x^{2}-2\sqrt{x}+1} = h^{1/3}\bigl(1+O(h)\bigr).
Em palavras: o numerador comporta-se como h^{1/3} quando h\to 0.

Passo 5

Escrevemos o quociente em termos de h. O denominador é (x-1)^{2}=h^{2}. Assim
\frac{\sqrt[3]{x^{2}-2\sqrt{x}+1}}{(x-1)^{2}} \sim \frac{h^{1/3}}{h^{2}} = h^{-5/3}\quad\text{quando }h\to 0.
Agora analisamos o comportamento de h^{-5/3} quando h\to 0:
  • Se h\to 0^{+} (isto é, x\to 1^{+}), então h^{-5/3}\to +\infty.
  • Se h\to 0^{-} (isto é, x\to 1^{-}), então h^{-5/3}\to -\infty porque h^{1/3} preserva o sinal de h (raiz cúbica de número negativo é negativa) e o denominador é sempre positivo, logo o quociente tem sinal de h.
Portanto as duas limites laterais não coincidem: o limite pela direita é +\infty e pela esquerda é -\infty. Consequência: o limite bilateral \lim_{x\to 1} não existe (diverge).

Resposta

Não existe; \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} = +\infty e \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} = -\infty.

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