Calcular os limites.
(x) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve as funções \sqrt{1+x} e \sqrt{1-x}, que estão definidas para |x|<1.
  • Queremos o comportamento da razão quando x se aproxima de 0 (tanto pela direita quanto pela esquerda, a princípio).
  • Observe que, quando x\to0, o numerador tende a um número e o denominador tende a 0; isso indica que devemos verificar sinais e possivelmente limites laterais.

Passo 2

Avalio separadamente o limite do numerador usando continuidade da raiz quadrada:
\lim_{x\to 0}\sqrt{1+x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\sqrt{1-x}=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\big(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\big)=1+1=2.
Isto mostra que a forma do limite é semelhante a \dfrac{2}{0}: o numerador tende a \,2 (não a 0) e o denominador tende a 0. Quando isso acontece, o limite tende a divergir para +\infty ou -\infty dependendo do sinal do denominador (ou seja, devemos estudar os limites laterais).

Passo 3

Mostro que o numerador permanece positivo e afastado de zero quando x está suficientemente próximo de 0. Por exemplo, se |x|<\tfrac{1}{2} então 1-|x|>\tfrac{1}{2} e
\sqrt{1+x}\ge \sqrt{1-|x|}\ge \sqrt{\tfrac{1}{2}},\qquad \sqrt{1-x}\ge \sqrt{\tfrac{1}{2}}.
Logo, para |x|<\tfrac{1}{2},
\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\ge 2\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{2}>0.
Isso significa que, numa vizinhança de 0, o numerador é positivo e tem uma cota inferior positiva (não tende a zero).

Passo 4

Calculo os limites laterais usando a propriedade do numerador positivo:
  • Para x\to 0^+ (aproximação pela direita) temos x>0 pequeno, numerador \ge \sqrt{2}>0, portanto
\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}\ge \frac{\sqrt{2}}{x}\longrightarrow +\infty \quad\text{quando }x\to0^+.
Isto mostra que o limite pela direita é +\infty.
  • Para x\to 0^- (aproximação pela esquerda) temos x<0 pequeno, numerador positivo e x negativo, então a razão é negativa em módulo pelo menos \dfrac{\sqrt{2}}{|x|}. Assim
\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}\le -\frac{\sqrt{2}}{|x|}\longrightarrow -\infty \quad\text{quando }x\to0^-.
Isto mostra que o limite pela esquerda é -\infty.

Passo 5

Como os dois limites laterais existem, mas são divergentes com sinais opostos ( +\infty pela direita e -\infty pela esquerda), o limite bilateral \lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x} não existe como número real finito.

Resposta

+\infty pela direita e -\infty pela esquerda; o limite bilateral não existe.

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