Calcular os limites.
(x)
(x)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão envolve as funções
e , que estão definidas para . - Queremos o comportamento da razão quando
se aproxima de (tanto pela direita quanto pela esquerda, a princípio). - Observe que, quando
, o numerador tende a um número e o denominador tende a ; isso indica que devemos verificar sinais e possivelmente limites laterais.
Passo 2
Avalio separadamente o limite do numerador usando continuidade da raiz quadrada:
Portanto
Isto mostra que a forma do limite é semelhante a
: o numerador tende a
(não a
) e o denominador tende a
. Quando isso acontece, o limite tende a divergir para
ou
dependendo do sinal do denominador (ou seja, devemos estudar os limites laterais).
Passo 3
Mostro que o numerador permanece positivo e afastado de zero quando
está suficientemente próximo de
. Por exemplo, se
então
e
Logo, para
,
Isso significa que, numa vizinhança de
, o numerador é positivo e tem uma cota inferior positiva (não tende a zero).
Passo 4
Calculo os limites laterais usando a propriedade do numerador positivo:
- Para
(aproximação pela direita) temos pequeno, numerador , portanto
Isto mostra que o limite pela direita é
.
- Para
(aproximação pela esquerda) temos pequeno, numerador positivo e negativo, então a razão é negativa em módulo pelo menos . Assim
Isto mostra que o limite pela esquerda é
.
Passo 5
Como os dois limites laterais existem, mas são divergentes com sinais opostos (
pela direita e
pela esquerda), o limite bilateral
não existe como número real finito.