Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
f(x)=\frac{x-1}{|x-1|} em x=1

Passo 1

O enunciado pede:
  • Calcular o limite lateral esquerdo \displaystyle \lim_{x\to1^-} f(x).
  • Calcular o limite lateral direito \displaystyle \lim_{x\to1^+} f(x).
  • Dizer se existe o limite \displaystyle \lim_{x\to1} f(x).
As informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x-1}{|x-1|}.
  • O ponto de interesse é x=1.

Passo 2

Entender o valor de |x-1|\). Lembre que, por definição, \[|t|=\begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0.
Aplicando com t=x-1\]: - Se \(x>1 então x-1>0 e |x-1|=x-1.
- Se x<1 então x-1<0 e |x-1|=-(x-1)=1-x.
No ponto x=1 temos |x-1|=0, mas aí a função original fica \dfrac{0}{0}, que é indefinida. Agora vamos usar as expressões acima para simplificar f(x) quando x se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda.]

Passo 3

Cálculo do limite lateral direito ( x\to1^+). Para x>1 substituímos |x-1|=x-1 em f(x):
f(x)=\frac{x-1}{|x-1|}=\frac{x-1}{x-1}=1\qquad\text{para }x>1.
Como em algum intervalo à direita de 1 a função é constante e igual a 1, segue que
\lim_{x\to1^+} f(x)=1.
Explicação curta: se uma função vale sempre 1 para x suficientemente perto de 1 pela direita, o limite pela direita é 1.

Passo 4

Cálculo do limite lateral esquerdo ( x\to1^-). Para x<1 usamos |x-1|=1-x:
f(x)=\frac{x-1}{|x-1|}=\frac{x-1}{1-x}.
Note que 1-x=-(x-1), então
\frac{x-1}{1-x}=\frac{x-1}{-(x-1)}=-1\qquad\text{para }x<1.
Assim, para x suficientemente perto de 1 pela esquerda a função vale sempre -1, e portanto
\lim_{x\to1^-} f(x)=-1.

Passo 5

Comparando os limites laterais: \displaystyle \lim_{x\to1^-} f(x)=-1 e \displaystyle \lim_{x\to1^+} f(x)=1. Como esses dois valores são diferentes, o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to1} f(x) não existe. Além disso, a própria função não está definida em x=1 porque ali ocorreria uma forma \dfrac{0}{0}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^-} f(x)=-1\n
\displaystyle \lim_{x\to1^+} f(x)=1\n
O limite \displaystyle \lim_{x\to1} f(x) não existe.

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