e pede, nos pontos indicados, os limites laterais e se o limite (bilateral) existe:
Calcular \displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x) e \displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x), e dizer se \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) existe.
Calcular \displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x) e \displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x), e dizer se \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) existe.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para x<0 usa-se \dfrac{1}{1-x}.
Em x=0 o valor de f é 0.
Para 0<x<1 usa-se x.
Para x\ge 2 o valor de f é 2.
Note que não há definição dada para 1\le x<2 (a função não está especificada nesse intervalo).]
Passo 2
Pequena revisão didática sobre limites laterais (sem jargão chato):
A definição intuitiva de limite lateral diz que \displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=L se os valores de f(x) quando x se aproxima de a pela esquerda (isto é, com x<a) ficam cada vez mais perto de L. Analogamente para \displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x) vindo da direita.
Para existir o limite bilateral \displaystyle\lim_{x\to a}f(x) é necessário e suficiente que as duas limitações laterais existam e sejam iguais:
Se a expressão da função em um lado é dada por uma fórmula contínua naquele ponto (como polinômio ou x\mapsto \dfrac{1}{1-x} em pontos onde denominador não é zero), podemos calcular o limite simplesmente substituindo x=a na expressão (porque funções contínuas têm esse comportamento). Vou usar essa ideia sempre que for aplicável.
Passo 3
Cálculo das laterais em x=0: limite pela esquerda.
Para x<0 a função é \dfrac{1}{1-x}. Essa expressão é contínua onde o denominador é não nulo; em particular, no entorno de 0 ela é contínua. Logo
Observação útil: o valor da função em 0 é f(0)=0, que coincide com o limite pela direita, mas o limite bilateral exige que as duas laterais coincidam. Como \displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=1 e \displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=0, elas são diferentes. Portanto o limite \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) NÃO existe.
Passo 5
Cálculo da lateral em x=1: limite pela esquerda.
Para 0<x<1 temos f(x)=x. Aproximando x de 1 pela esquerda, a expressão x tende a 1. Portanto
Cálculo da lateral em x=1: limite pela direita.
Para avaliar \displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x) precisamos de valores de f(x) para x ligeiramente maiores que 1 (isto é, em algum intervalo (1,1+\delta)). Porém, olhando para a definição de f percebemos que não foi dada nenhuma fórmula para 1\le x<2; a próxima informação é que f(x)=2 para x\ge 2. Isso significa que:
Não existem valores de f(x) definidos para x com 1<x<2.
Os primeiros pontos à direita de 1 onde f está definido são x\ge 2, que estão a uma distância mínima 1 de 1. Portanto não há como aproximar 1 por valores de x do domínio da função vindo da direita arbitrariamente perto de 1.
Pela definição de limite lateral, para \displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x) existir é preciso que a função esteja definida em pontos arbitrariamente próximos de 1 pela direita. Como isso não ocorre aqui, \displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x) NÃO existe (não há sequer uma sequência de pontos do domínio com x_n\downarrow 1 para calcular um valor limite).
Passo 7
Conclusões finais sobre x=1:
\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=1.
\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x) não existe porque f não está definida em nenhum intervalo (1,1+\delta).
Logo o limite bilateral \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) também NÃO existe. Além disso, f(1) não está definido segundo a afirmação do enunciado.
Resposta
\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=1 \displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=0 \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) não existe
\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=1 \displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x) não existe (função não definida em (1,2)) \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) não existe