Calcular os limites laterais das funções abaixo nos pontos indicados e dizer se existe o limite da função nos pontos dados:
  1. f(x)= \begin{cases}\frac{1}{1-x} & , \text { se } x<0 \\\ 0 & , \text { se } x=0 \x & , \text { se } 0<x<1 \\\ 2 & , \text { se } x \geq 2\end{cases}
em \quad x=0 \quad e \quad x=1

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, & \text{se } x<0,\\[6pt] 0, & \text{se } x=0,\\[4pt] x, & \text{se } 0<x<1,\\[4pt] 2, & \text{se } x\ge 2, \end{cases}
e pede, nos pontos indicados, os limites laterais e se o limite (bilateral) existe:
  • Calcular \displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x) e \displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x), e dizer se \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) existe.
  • Calcular \displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x) e \displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x), e dizer se \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) existe.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x<0 usa-se \dfrac{1}{1-x}.
  • Em x=0 o valor de f é 0.
  • Para 0<x<1 usa-se x.
  • Para x\ge 2 o valor de f é 2.
  • Note que não há definição dada para 1\le x<2 (a função não está especificada nesse intervalo).]

Passo 2

Pequena revisão didática sobre limites laterais (sem jargão chato):
  • A definição intuitiva de limite lateral diz que \displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=L se os valores de f(x) quando x se aproxima de a pela esquerda (isto é, com x<a) ficam cada vez mais perto de L. Analogamente para \displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x) vindo da direita.
  • Para existir o limite bilateral \displaystyle\lim_{x\to a}f(x) é necessário e suficiente que as duas limitações laterais existam e sejam iguais:
\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x).
  • Se a expressão da função em um lado é dada por uma fórmula contínua naquele ponto (como polinômio ou x\mapsto \dfrac{1}{1-x} em pontos onde denominador não é zero), podemos calcular o limite simplesmente substituindo x=a na expressão (porque funções contínuas têm esse comportamento). Vou usar essa ideia sempre que for aplicável.

Passo 3

Cálculo das laterais em x=0: limite pela esquerda.
Para x<0 a função é \dfrac{1}{1-x}. Essa expressão é contínua onde o denominador é não nulo; em particular, no entorno de 0 ela é contínua. Logo
\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{1-0}=1.
Explicando devagar: aproximando x de 0 vindo da esquerda, 1-x tende a 1 e então a fração tende a 1.

Passo 4

Cálculo da lateral em x=0: limite pela direita.
Para 0<x<1 a função é f(x)=x. Essa é contínua em 0 pela direita, então
\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x=0.
Observação útil: o valor da função em 0 é f(0)=0, que coincide com o limite pela direita, mas o limite bilateral exige que as duas laterais coincidam. Como \displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=1 e \displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=0, elas são diferentes. Portanto o limite \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) NÃO existe.

Passo 5

Cálculo da lateral em x=1: limite pela esquerda.
Para 0<x<1 temos f(x)=x. Aproximando x de 1 pela esquerda, a expressão x tende a 1. Portanto
\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 1^-}x=1.

Passo 6

Cálculo da lateral em x=1: limite pela direita.
Para avaliar \displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x) precisamos de valores de f(x) para x ligeiramente maiores que 1 (isto é, em algum intervalo (1,1+\delta)). Porém, olhando para a definição de f percebemos que não foi dada nenhuma fórmula para 1\le x<2; a próxima informação é que f(x)=2 para x\ge 2. Isso significa que:
  • Não existem valores de f(x) definidos para x com 1<x<2.
  • Os primeiros pontos à direita de 1 onde f está definido são x\ge 2, que estão a uma distância mínima 1 de 1. Portanto não há como aproximar 1 por valores de x do domínio da função vindo da direita arbitrariamente perto de 1.
Pela definição de limite lateral, para \displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x) existir é preciso que a função esteja definida em pontos arbitrariamente próximos de 1 pela direita. Como isso não ocorre aqui, \displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x) NÃO existe (não há sequer uma sequência de pontos do domínio com x_n\downarrow 1 para calcular um valor limite).

Passo 7

Conclusões finais sobre x=1:
  • \displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=1.
  • \displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x) não existe porque f não está definida em nenhum intervalo (1,1+\delta).
    Logo o limite bilateral \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) também NÃO existe. Além disso, f(1) não está definido segundo a afirmação do enunciado.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=1
\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=0
\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) não existe
\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=1
\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x) não existe (função não definida em (1,2))
\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) não existe

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