Determinar:
  1. \lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{(y+1)^{2}}{y^{2}+1}
  2. \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}-5 x+1}{3 x+7}
  3. \lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{2 y^{2}-y+3}{y^{3}-8 y+3}
  4. \lim _{s \rightarrow+\infty} \frac{(2 s+3)^{3}(3 s-2)^{2}}{(s+5)^{5}}
  5. \lim _{s \rightarrow+\infty} \frac{2 s^{2}-3 s-4}{\sqrt{s^{4}+1}}
  6. \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x+3}{x+\sqrt[3]{x}}
  7. \lim _{s \rightarrow+\infty} \frac{s^{2}}{s+\sqrt{s}}
  8. \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t+\sqrt{t+\sqrt{t}}}}
  9. \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{5 x^{2}-5 x+6}-x\right)
  10. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(x-\sqrt[3]{1-x^{3}}\right)
  11. \lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)
  12. \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}(2 x)}{x-\frac{\pi}{2}}
  13. \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{x-\frac{\pi}{3}}
  14. \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\pi}{4}-x}
  15. \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \operatorname{sen} \frac{\pi}{n}\right)
  16. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}
  17. \lim _{x \rightarrow 0} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)
  18. \lim _{x \rightarrow 0} \cot (2 x) \cot \left(\frac{\pi}{2}-x\right)
  19. \lim _{x \rightarrow \pi}\left(\frac{1-\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)}{\pi-x}\right)
  20. \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x-1}{x^{2}-1}\right)^{x+1}
  21. \lim _{x \rightarrow 1}(x)^{\frac{1}{x-1}}
  22. \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}
  23. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}
  24. \lim _{x \rightarrow 0}(1+\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{x}}
  25. \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+a}-\sqrt{x})
  26. \lim _{s \rightarrow+\infty}(\sqrt{s(s+a)}-s)
  27. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+\alpha x)}{x}
  28. \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(1+\cos x)^{3 \operatorname{sec} x}
  29. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x+2}
  30. \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right]^{\frac{\operatorname{sen} x}{x-\operatorname{sen} x}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede (cada linha é um limite a calcular). Não resolvo nada aqui, apenas organizo os pedidos para ficarmos tranquilos:
  1. \displaystyle \lim_{y\rightarrow+\infty}\frac{(y+1)^{2}}{y^{2}+1}
  2. \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}-5x+1}{3x+7}
  3. \displaystyle \lim_{y\rightarrow+\infty}\frac{2y^{2}-y+3}{y^{3}-8y+3}
  4. \displaystyle \lim_{s\rightarrow+\infty}\frac{(2s+3)^{3}(3s-2)^{2}}{(s+5)^{5}}
  5. \displaystyle \lim_{s\rightarrow+\infty}\frac{2s^{2}-3s-4}{\sqrt{s^{4}+1}}
  6. \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x+3}{x+\sqrt[3]{x}}
  7. \displaystyle \lim_{s\rightarrow+\infty}\frac{s^{2}}{s+\sqrt{s}}
  8. \displaystyle \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t+\sqrt{t+\sqrt{t}}}}
  9. \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\bigl(\sqrt{x+a}-\sqrt{x}\bigr) (a é constante)
  10. \displaystyle \lim_{s\rightarrow+\infty}\bigl(\sqrt{s(s+a)}-s\bigr) (a é constante)
  11. \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\bigl(\sqrt{5x^{2}-5x+6}-x\bigr)
  12. \displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\bigl(x-\sqrt[3]{\,1-x^{3}\,}\bigr)
  13. \displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)
  14. \displaystyle \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2x)}{x-\frac{\pi}{2}}
  15. \displaystyle \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{3}}\frac{\sin(3x)}{x-\frac{\pi}{3}}
  16. \displaystyle \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\frac{\tan(4x)}{\frac{\pi}{4}-x}
  17. \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl(n\sin\frac{\pi}{n}\Bigr)
  18. \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}
  19. \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+\alpha x)}{x} ( \alpha constante)
  20. \displaystyle \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}(1+\cos x)^{3\operatorname{sec} x}
  21. \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)
  22. \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\cot(2x)\,\cot\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)
  23. \displaystyle \lim_{x\rightarrow\pi}\frac{1-\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\pi-x}
  24. \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\Bigl(\frac{x-1}{x^{2}-1}\Bigr)^{x+1}
  25. \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}x^{\frac{1}{x-1}}
  26. \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n}
  27. \displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x-1}{x+1}\Bigr)^{x}
  28. \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\bigl(1+\sin x\bigr)^{\frac{1}{x}}
  29. \displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x-1}{x+3}\Bigr)^{x+2}
  30. \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\Biggl[\frac{\sin x}{x}\Biggr]^{\frac{\sin x}{\,x-\sin x\,}}
Agora vamos resolver, passo a passo, cada limite. Mantenho o tom calmo e explico as ideias usadas (ferramentas: comparar graus polinomiais, fatorar termos dominantes, racionalizar (conjugado), usar séries/taylor à primeira ordem para funções trig/logarítmicas, e usar limite exponencial para formas 1^{\infty}). Vamos em frente!

Passo 2

Problema 01: \displaystyle \lim_{y\rightarrow+\infty}\frac{(y+1)^{2}}{y^{2}+1}.
  • Ideia: para y\to\infty domina o termo de maior grau. Dividir numerador e denominador por y^{2} é a forma padrão.
  • Dividindo:
\frac{(y+1)^{2}}{y^{2}+1}=\frac{y^{2}+2y+1}{y^{2}+1}=\frac{1+\frac{2}{y}+\frac{1}{y^{2}}}{1+\frac{1}{y^{2}}}.
  • Conforme y\to\infty as frações \frac{2}{y},\frac{1}{y^{2}},\frac{1}{y^{2}} vão para 0.
  • Logo o quociente tende a
\frac{1+0+0}{1+0}=1.

Passo 3

Problema 02: \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}-5x+1}{3x+7}.
  • Grau do numerador é 2, do denominador é 1. Numerador cresce mais rápido, então o quociente tende a +\infty (já que coeficiente líder do numerador é positivo).
  • Para ver isso, dividir por x:
\frac{x^{2}-5x+1}{3x+7}=\frac{x( x-5+\frac{1}{x})}{x(3+\frac{7}{x})}=\frac{x-5+\frac{1}{x}}{3+\frac{7}{x}}.
  • Ao fazer x\to\infty o numerador cresce como x (vai a +\infty) e denominador tende a 3, logo o quociente \to +\infty.

Passo 4

Problema 03: \displaystyle \lim_{y\rightarrow+\infty}\frac{2y^{2}-y+3}{y^{3}-8y+3}.
  • Grau do numerador 2, do denominador 3. Denomina dor cresce mais rápido, então a fração tende a 0.
  • Dividindo por y^{3}:
\frac{2y^{2}-y+3}{y^{3}-8y+3}=\frac{\frac{2}{y}-\frac{1}{y^{2}}+\frac{3}{y^{3}}}{1-\frac{8}{y^{2}}+\frac{3}{y^{3}}}\to\frac{0}{1}=0.

Passo 5

Problema 04: \displaystyle \lim_{s\rightarrow+\infty}\frac{(2s+3)^{3}(3s-2)^{2}}{(s+5)^{5}}.
  • Observe que cada fator é polinomial; o grau total do numerador é 3+2=5, do denominador também 5. Para limites em infinito, o comportamento é dado pelos coeficientes líderes.
  • Coeficiente líder de (2s+3)^{3} é 2^{3}=8. Coeficiente líder de (3s-2)^{2} é 3^{2}=9. Produto = 8\cdot9=72. Coeficiente líder do denominador (s+5)^{5} é 1^{5}=1.
  • Portanto o limite é 72.

Passo 6

Problema 05: \displaystyle \lim_{s\rightarrow+\infty}\frac{2s^{2}-3s-4}{\sqrt{s^{4}+1}}.
  • Para s\to\infty, \sqrt{s^{4}+1}=\;s^{2}\sqrt{1+\frac{1}{s^{4}}}. Como \sqrt{1+\varepsilon}\to1 quando \varepsilon\to0, temos \sqrt{s^{4}+1}\sim s^{2}.
  • Dividindo numerador e denominador por s^{2}:
\frac{2-\frac{3}{s}-\frac{4}{s^{2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{s^{4}}}}\to\frac{2-0-0}{1}=2.

Passo 7

Problema 06: \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x+3}{x+\sqrt[3]{x}}.
  • Identificar termos dominantes: x domina \sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
  • Dividir por x:
\frac{2+\frac{3}{x}}{1+x^{-2/3}}\longrightarrow\frac{2+0}{1+0}=2.

Passo 8

Problema 07: \displaystyle \lim_{s\rightarrow+\infty}\frac{s^{2}}{s+\sqrt{s}}.
  • Dividir numerador e denominador por s (o maior termo do denominador):
\frac{s}{1+s^{-1/2}}.
  • Como s\to\infty temos s^{-1/2}\to0, então comportamento é s/(1+0)\to+\infty. Logo o limite é +\infty.

Passo 9

Problema 08: \displaystyle \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t+\sqrt{t+\sqrt{t}}}}.
  • Uma técnica simples: dividir numerador e denominador por \sqrt{t}.
\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t+\sqrt{t+\sqrt{t}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{t+\sqrt{t}}}{t}}}.
  • Note que \frac{\sqrt{t+\sqrt{t}}}{t}=\frac{\sqrt{t}\sqrt{1+1/\sqrt{t}}}{t}=\frac{1}{\sqrt{t}}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{t}}}\to 0.
  • Então o denominador tende a \sqrt{1+0}=1, logo o limite é 1.

Passo 10

Problema 09: \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\bigl(\sqrt{x+a}-\sqrt{x}\bigr) (com a constante).
  • Racionalizar usando o conjugado:
\sqrt{x+a}-\sqrt{x}=\frac{(\sqrt{x+a}-\sqrt{x})(\sqrt{x+a}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}=\frac{a}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}.
  • Para x\to\infty o denominador cresce como 2\sqrt{x}, logo a fração tende a 0.
  • Limite = 0.

Passo 11

Problema 10: \displaystyle \lim_{s\rightarrow+\infty}\bigl(\sqrt{s(s+a)}-s\bigr) (com a constante).
  • Escreva \sqrt{s(s+a)}=\sqrt{s^{2}+as}. Racionalize:
\sqrt{s^{2}+as}-s=\frac{as}{\sqrt{s^{2}+as}+s}.
  • Divida numerador e denominador por s:
\frac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{s}}+1}\to\frac{a}{1+1}=\frac{a}{2}.

Passo 12

Problema 11: \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\bigl(\sqrt{5x^{2}-5x+6}-x\bigr).
  • Racionalizar:
\sqrt{5x^{2}-5x+6}-x=\frac{5x^{2}-5x+6-x^{2}}{\sqrt{5x^{2}-5x+6}+x}=\frac{4x^{2}-5x+6}{\sqrt{5x^{2}-5x+6}+x}.
  • O numerador tem ordem x^{2}, o denominador tem ordem x (pois \sqrt{5x^{2}-5x+6}\sim \sqrt{5}\,x), portanto a razão cresce como x e tende a +\infty.
  • Mais formal: dividir numerador e denominador por x:
\frac{4x-\!5+\frac{6}{x}}{\sqrt{5-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}+1}\sim \frac{4x}{\sqrt{5}+1}\to+\infty.

Passo 13

Problema 12: \displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\bigl(x-\sqrt[3]{\,1-x^{3}\,}\bigr).
  • Observe que para x grande, 1-x^{3}=-\bigl(x^{3}-1\bigr). Então
\sqrt[3]{1-x^{3}}=\sqrt[3]{-1}\sqrt[3]{x^{3}-1}=-\sqrt[3]{x^{3}-1}.
  • Assim a expressão é x-(-\sqrt[3]{x^{3}-1})=x+\sqrt[3]{x^{3}-1}. Para x grande, \sqrt[3]{x^{3}-1}\sim x, então a soma cresce como 2x\to+\infty.
  • Logo o limite é +\infty.

Passo 14

Problema 13: \displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr).
  • Racionalize o fator dentro dos parênteses:
\sqrt{x^{2}+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
  • Multiplicando por x:
x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
  • Divida numerador e denominador por x:
\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1}\to\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 15

Problema 14: \displaystyle \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2x)}{x-\frac{\pi}{2}}.
  • Substitua x=\frac{\pi}{2}+h com h\to 0. Então
\sin(2x)=\sin\bigl(\pi+2h\bigr)=-\sin(2h).
  • Denominador x-\frac{\pi}{2}=h. Logo a expressão é -\sin(2h)/h.
  • Para h\to 0, \sin(2h)\sim 2h. Então -\sin(2h)/h\to -2.
  • Limite = -2.

Passo 16

Problema 15: \displaystyle \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{3}}\frac{\sin(3x)}{x-\frac{\pi}{3}}.
  • Coloque x=\frac{\pi}{3}+h, então 3x=\pi+3h e \sin(3x)=-\sin(3h).
  • Denominador x-\frac{\pi}{3}=h. Assim -\sin(3h)/h\to -3 (pois \sin(3h)\sim 3h).
  • Limite = -3.

Passo 17

Problema 16: \displaystyle \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\frac{\tan(4x)}{\frac{\pi}{4}-x}.
  • Coloque x=\frac{\pi}{4}+h, portanto \frac{\pi}{4}-x=-h e 4x=\pi+4h.
  • \tan(4x)=\tan(\pi+4h)=\tan(4h)\sim 4h para h\to0.
  • Assim a razão é \tan(4h)/(-h)\sim 4h/(-h)=-4.
  • Limite = -4.

Passo 18

Problema 17: \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl(n\sin\frac{\pi}{n}\Bigr).
  • Para n grande, t=\frac{\pi}{n} é pequeno, e \sin t\sim t.
  • Então n\sin\frac{\pi}{n}\sim n\cdot\frac{\pi}{n}=\pi.
  • Limite = \pi.

Passo 19

Problema 18: \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}.
  • Série de Taylor (ou limite clássico): \cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
  • Então 1-\cos x\sim \frac{x^{2}}{2}. Dividindo por x^{2} \frac{1}{2}.
  • Limite = \tfrac{1}{2}.

Passo 20

Problema 19: \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+\alpha x)}{x}.
  • Usar expansão: \ln(1+u)\sim u quando u\to 0. Aqui u=\alpha x.
  • Então \ln(1+\alpha x)\sim \alpha x. Dividindo por x obtemos \alpha.
  • Limite = \alpha.

Passo 21

Problema 20: \displaystyle \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}(1+\cos x)^{3\operatorname{sec} x}.
  • Forma tipo 1^{\infty}. Use o truque: limite =\exp\!\bigl(\lim 3\operatorname{sec} x\cdot\ln(1+\cos x)\bigr).
  • Para x perto de \frac{\pi}{2}, \cos x\to 0 e \ln(1+\cos x)\sim \cos x.
  • Então o produto 3\operatorname{sec} x\cdot\ln(1+\cos x)\sim 3\frac{1}{\cos x}\cdot\cos x=3.
  • Portanto o limite é e^{3}.

Passo 22

Problema 21: \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
  • Função \sin(1/x) oscila entre -1 e 1. Pelo princípio da compressão (squeeze):
-\,|x|\le x\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\le |x|
e |x|\to 0 quando x\to 0.
  • Logo o produto tende a 0.

Passo 23

Problema 22: \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\cot(2x)\,\cot\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr).
  • Use \cot(\tfrac{\pi}{2}-x)=\tan x. Então a expressão é
\cot(2x)\tan x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}.
  • Use \sin 2x=2\sin x\cos x. Assim
\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\cos 2x}{2\cos^{2}x}.
  • Escreva \cos 2x=2\cos^{2}x-1, então a expressão fica
\frac{2\cos^{2}x-1}{2\cos^{2}x}=1-\frac{1}{2\cos^{2}x}.
  • Para x\to 0, \cos^{2}x\to 1, então o limite é 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 24

Problema 23: \displaystyle \lim_{x\rightarrow\pi}\frac{1-\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\pi-x}.
  • Substitua x=\pi+h (então h\to 0). Temos x/2=\pi/2+h/2 e \sin\bigl(\pi/2+h/2\bigr)=\cos(h/2).
  • Numerador 1-\cos(h/2)\sim \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)^{2}=O(h^{2}) (pois 1-\cos u\sim u^{2}/2).
  • Denominador \pi-x=-h=O(h). Assim razão é O(h^{2})/O(h)=O(h)\to 0.
  • Limite = 0.

Passo 25

Problema 24: \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\Bigl(\frac{x-1}{x^{2}-1}\Bigr)^{x+1}.
  • Simplificar a base para x\ne1:
\frac{x-1}{x^{2}-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}.
  • Então expressão é (x+1)^{-(x+1)} ou \bigl(\tfrac{1}{x+1}\bigr)^{x+1}.
  • Substituindo x\to1 direto: \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 26

Problema 25: \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}x^{\frac{1}{x-1}}.
  • Forma 1^{\infty}. Use L=\exp\!\bigl(\lim \frac{\ln x}{x-1}\bigr).
  • Para x\to1, \ln x\sim x-1, então \frac{\ln x}{x-1}\to 1.
  • Logo L=e^{1}=e.

Passo 27

Problema 26: \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n}.
  • Clássico: \bigl(1-\frac{1}{n}\bigr)^{n}\to e^{-1}.
  • (Ou usar \lim(1+\frac{x}{n})^{n}=e^{x} com x=-1.)

Passo 28

Problema 27: \displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x-1}{x+1}\Bigr)^{x}.
  • Escrever em termos de exponencial: L=\exp\!\bigl(\lim x[\ln(1-\tfrac{1}{x})-\ln(1+\tfrac{1}{x})]\bigr).
  • Para pequeno u, \ln(1+u)=u-\tfrac{u^{2}}{2}+o(u^{2}). Então
\ln(1-\tfrac{1}{x})-\ln(1+\tfrac{1}{x})\sim\Bigl(-\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{2x^{2}}\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{2x^{2}}\Bigr)=-\tfrac{2}{x}+o(\tfrac{1}{x}).
  • Multiplicando por x -2+o(1). Portanto o limite do ln é -2 e
L=e^{-2}.

Passo 29

Problema 28: \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\bigl(1+\sin x\bigr)^{\frac{1}{x}}.
  • Forma 1^{\infty}. Use L=\exp\!\bigl(\lim \frac{\ln(1+\sin x)}{x}\bigr).
  • Para x\to 0, \ln(1+\sin x)\sim \sin x\sim x. Então \frac{\ln(1+\sin x)}{x}\to 1.
  • Logo L=e^{1}=e.

Passo 30

Problema 29: \displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x-1}{x+3}\Bigr)^{x+2}.
  • Escrever logaritmo:
\ln L=(x+2)\bigl(\ln(1-\tfrac{1}{x})-\ln(1+\tfrac{3}{x})\bigr).
  • Expansões: \ln(1-\tfrac{1}{x})\sim -\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{2x^{2}}, \ln(1+\tfrac{3}{x})\sim \tfrac{3}{x}-\tfrac{9}{2x^{2}}.
  • Diferença \sim -\tfrac{4}{x}+\tfrac{4}{x^{2}}. Multiplicando por x+2 -4+o(1).
  • Então \ln L\to -4 e L=e^{-4}.

Passo 31

Problema 30: \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\Biggl[\frac{\sin x}{x}\Biggr]^{\frac{\sin x}{\,x-\sin x\,}}.
  • Forma geral 1^{\infty}. Vamos calcular o expoente do exponencial: escreva L=\exp\!\bigl(\lim E(x)\bigr) com
E(x)=\frac{\sin x}{x-\sin x}\cdot\ln\Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr).
  • Para pequenos x, use séries:
\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}).
  • Portanto
\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2}), \qquad \ln\Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr)\sim -\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2}).
  • E
x-\sin x=\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}), \qquad \frac{\sin x}{x-\sin x}=\frac{x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})}{\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})} =\frac{6}{x^{2}}-1+o(1).
  • Multiplicando:
E(x)=\Bigl(\frac{6}{x^{2}}-1+o(1)\Bigr)\Bigl(-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2})\Bigr)=-1+o(1).
  • Logo \lim E(x)=-1 e L=e^{-1}=\frac{1}{e}.

Resposta

  1. 1
  2. +\infty
  3. 0
  4. 72
  5. 2
  6. 2
  7. +\infty
  8. 1
  9. 0
  10. \dfrac{a}{2}
  11. +\infty
  12. +\infty
  13. \dfrac{1}{2}
  14. -2
  15. -3
  16. -4
  17. \pi
  18. \dfrac{1}{2}
  19. \alpha
  20. e^{3}
  21. 0
  22. \dfrac{1}{2}
  23. 0
  24. \dfrac{1}{4}
  25. e
  26. e^{-1}
  27. e^{-2}
  28. e
  29. e^{-4}
  30. \dfrac{1}{e}

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