Determinar:
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Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede (cada linha é um limite a calcular). Não resolvo nada aqui, apenas organizo os pedidos para ficarmos tranquilos:
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(a é constante) -
(a é constante) -
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( constante) -
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Agora vamos resolver, passo a passo, cada limite. Mantenho o tom calmo e explico as ideias usadas (ferramentas: comparar graus polinomiais, fatorar termos dominantes, racionalizar (conjugado), usar séries/taylor à primeira ordem para funções trig/logarítmicas, e usar limite exponencial para formas
). Vamos em frente!
Passo 2
Problema 01:
.
- Ideia: para
domina o termo de maior grau. Dividir numerador e denominador por é a forma padrão. - Dividindo:
- Conforme
as frações vão para . - Logo o quociente tende a
Passo 3
Problema 02:
.
- Grau do numerador é
, do denominador é . Numerador cresce mais rápido, então o quociente tende a (já que coeficiente líder do numerador é positivo). - Para ver isso, dividir por
:
- Ao fazer
o numerador cresce como (vai a ) e denominador tende a , logo o quociente .
Passo 4
Problema 03:
.
- Grau do numerador
, do denominador . Denomina dor cresce mais rápido, então a fração tende a . - Dividindo por
:
Passo 5
Problema 04:
.
- Observe que cada fator é polinomial; o grau total do numerador é
, do denominador também . Para limites em infinito, o comportamento é dado pelos coeficientes líderes. - Coeficiente líder de
é . Coeficiente líder de é . Produto = . Coeficiente líder do denominador é . - Portanto o limite é
.
Passo 6
Problema 05:
.
- Para
, . Como quando , temos . - Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 7
Problema 06:
.
- Identificar termos dominantes:
domina . - Dividir por
:
Passo 8
Problema 07:
.
- Dividir numerador e denominador por
(o maior termo do denominador):
- Como
temos , então comportamento é . Logo o limite é .
Passo 9
Problema 08:
.
- Uma técnica simples: dividir numerador e denominador por
.
- Note que
. - Então o denominador tende a
, logo o limite é .
Passo 10
Problema 09:
(com
constante).
- Racionalizar usando o conjugado:
- Para
o denominador cresce como , logo a fração tende a . - Limite =
.
Passo 11
Problema 10:
(com
constante).
- Escreva
. Racionalize:
- Divida numerador e denominador por
:
Passo 12
Problema 11:
.
- Racionalizar:
- O numerador tem ordem
, o denominador tem ordem (pois ), portanto a razão cresce como e tende a . - Mais formal: dividir numerador e denominador por
:
Passo 13
Problema 12:
.
- Observe que para
grande, . Então
- Assim a expressão é
. Para grande, , então a soma cresce como . - Logo o limite é
.
Passo 14
Problema 13:
.
- Racionalize o fator dentro dos parênteses:
- Multiplicando por
:
- Divida numerador e denominador por
:
Passo 15
Problema 14:
.
- Substitua
com . Então
- Denominador
. Logo a expressão é . - Para
, . Então . - Limite =
.
Passo 16
Problema 15:
.
- Coloque
, então e . - Denominador
. Assim (pois ). - Limite =
.
Passo 17
Problema 16:
.
- Coloque
, portanto e . -
para . - Assim a razão é
. - Limite =
.
Passo 18
Problema 17:
.
- Para
grande, é pequeno, e . - Então
. - Limite =
.
Passo 19
Problema 18:
.
- Série de Taylor (ou limite clássico):
. - Então
. Dividindo por dá . - Limite =
.
Passo 20
Problema 19:
.
- Usar expansão:
quando . Aqui . - Então
. Dividindo por obtemos . - Limite =
.
Passo 21
Problema 20:
.
- Forma tipo
. Use o truque: limite . - Para
perto de , e . - Então o produto
. - Portanto o limite é
.
Passo 22
Problema 21:
.
- Função
oscila entre e . Pelo princípio da compressão (squeeze):
e
quando
.
- Logo o produto tende a
.
Passo 23
Problema 22:
.
- Use
. Então a expressão é
- Use
. Assim
- Escreva
, então a expressão fica
- Para
, , então o limite é .
Passo 24
Problema 23:
.
- Substitua
(então ). Temos e . - Numerador
(pois ). - Denominador
. Assim razão é . - Limite =
.
Passo 25
Problema 24:
.
- Simplificar a base para
:
- Então expressão é
ou . - Substituindo
direto: .
Passo 26
Problema 25:
.
- Forma
. Use . - Para
, , então . - Logo
.
Passo 27
Problema 26:
.
- Clássico:
. - (Ou usar
com .)
Passo 28
Problema 27:
.
- Escrever em termos de exponencial:
. - Para pequeno
, . Então
- Multiplicando por
dá . Portanto o limite do ln é e
Passo 29
Problema 28:
.
- Forma
. Use . - Para
, . Então . - Logo
.
Passo 30
Problema 29:
.
- Escrever logaritmo:
- Expansões:
, . - Diferença
. Multiplicando por dá . - Então
e .
Passo 31
Problema 30:
.
- Forma geral
. Vamos calcular o expoente do exponencial: escreva com
- Para pequenos
, use séries:
- Portanto
- E
- Multiplicando:
- Logo
e .