Calcular os limites:
lim x -1 x^3+3 x^2-x-3x^3-x^2+2

Passo 1

O exercício pede para calcular limxto -1x^3+3x^2-x-3x^3-x^2+2. O tópico é limites de funções racionais, onde pode aparecer a forma indeterminada 0/0, e vamos precisar de fatoração de polinômios para simplificar.

Passo 2

Primeiro, testamos a substituição direta de x=-1 para ver se há indeterminação:
Numerador: (-1)^3+3(-1)^2-(-1)-3=-1+3+1-3=0,
Denominador: (-1)^3-(-1)^2+2=-1-1+2=0
Como obtemos 0/0, temos uma indeterminação e precisamos fatorar numerador e denominador.

Passo 3

Fatoramos o numerador:
x^3+3x^2-x-3=(x^2-1)(x+3)=(x-1)(x+1)(x+3)

Passo 4

Fatoramos o denominador usando divisão sintética por x+1:
x^3-x^2+2=(x+1)(x^2-2x+2)

Passo 5

Cancelamos o fator comum x+1 (válido para xneq -1) e obtemos a forma simplificada:
(x-1)(x+3)x^2-2x+2

Passo 6

Agora substituímos x=-1 na expressão simplificada:
Numerador: (-1-1)(-1+3)=(-2)(2)=-4,
Denominador: (-1)^2-2(-1)+2=1+2+2=5

Passo 7

Portanto, o limite é -4/5.

Resposta

-\u00bcerto4/5

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