Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
integral1^4 1raizx(raizx+1)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral1^4 1raizx,(raizx+1)^3,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos usar uma substituição que simplifica a raiz quadrada e aplicar o cálculo do antiderivado.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raizx,
logo x = u^2 e dx = 2u,du. Os limites em x se transformam em u(1)=1 e u(4)=2.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
1raizx,(raizx+1)^3,dx = 1u,(u+1)^3,(2u,du) = 2(u+1)^3,du
Portanto
integral1^4 1raizx,(raizx+1)^3,dx = integralu=1^2 2,(u+1)^-3,du

Passo 4

Para encontrar o antiderivado, usamos
integral (u+1)^n,du = (u+1)^n+1n+1, nneq -1
Aqui n=-3, logo
integral 2,(u+1)^-3,du = 2cdot (u+1)^-2-2 = -,(u+1)^-2
Esse é o nosso antiderivado.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos
F(u) = -1(u+1)^2
de u=1 até u=2:
F(2) - F(1) = l(-1(2+1)^2r) - l(-1(1+1)^2r) = -19 + 14 = -4 + 936 = 536

Resposta

536

Exercícios relacionados