Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para achar os intervalos de convergência da série
Isso é uma série de potências centrada em . Vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos extremos e .
Passo 2
Seja
Aplicando o teste da razão, calculamos
O teste diz que a série converge se L<1, diverge se L>1. Logo o raio de convergência é
R=1,
e a convergência é garantida para |x|<1 e divergência para |x|>1.
Passo 3
Agora vamos checar os extremos:
Em x=1, a série vira
sumn=1^infty1^,n-1n^3 =sumn=1^infty1n^3,
que é uma série p- (ou seja, sum1/n^p) com p=3>1. Logo converge.
Em x=-1, a série é
sumn=1^infty(-1)^,n-1n^3
Como sum1/n^3 converge, esta converge absolutamente e, portanto, converge também.