Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
sumn=1^infty x^n-1n^3

Passo 1

O enunciado pede para achar os intervalos de convergência da série
sumn=1^inftyx^,n-1n^3
Isso é uma série de potências centrada em 0. Vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Seja
un=x^,n-1n^3
Aplicando o teste da razão, calculamos
L=limntoinfty|un+1un| =limntoinfty|x^,n(n+1)^3cdotn^3x^,n-1| =limntoinfty|x|;n^3(n+1)^3 =|x|
O teste diz que a série converge se L<1, diverge se L>1. Logo o raio de convergência é
R=1,
e a convergência é garantida para |x|<1 e divergência para |x|>1.

Passo 3

Agora vamos checar os extremos:
  1. Em x=1, a série vira
    sumn=1^infty1^,n-1n^3 =sumn=1^infty1n^3,
    que é uma série p- (ou seja, sum1/n^p) com p=3>1. Logo converge.
  2. Em x=-1, a série é
    sumn=1^infty(-1)^,n-1n^3
    Como sum1/n^3 converge, esta converge absolutamente e, portanto, converge também.

Resposta

O intervalo de convergência da série é
[-1,,1]

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