Suponha que sumn=1^infty an seja uma série convergente de termos não negativos. Com base neste fato responda:
sumn=1^infty an(an)^2+1 converge ou diverge? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre séries infinitas, especificamente séries de termos não negativos. Nosso objetivo é descobrir se a série sumn=1^infty an(an)^2+1 converge ou diverge, dado que sabemos que a série sumn=1^infty an já é convergente. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos sobre convergência de séries e comparar as duas séries para ver como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma série sumn=1^infty an converge se a soma infinita dos seus termos an tende a um número finito. No nosso caso, sabemos que essa série já converge e que todos os termos an são não negativos.
Agora, queremos analisar a série sumn=1^infty an(an)^2+1. Para entender o comportamento dessa série, podemos comparar os termos de ambas as séries.

Passo 3

Vamos examinar a expressão an(an)^2+1. Note que, como an é não negativo, podemos comparar an(an)^2+1 com an.
Observamos que para todo n, (an)^2 + 1 >= 1, já que (an)^2 é sempre não negativo. Portanto:
an(an)^2+1 <= an1 = an
Isso nos mostra que os termos da nova série são menores ou iguais aos termos da série original que já sabemos que converge.

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste da Comparação para séries. Esse teste diz que se 0 <= bn <= an para todo n e sum an converge, então sum bn também converge.
No nosso caso, bn = an(an)^2+1 e an já é uma série convergente com termos não negativos. Como mostramos que bn <= an para todo n, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série sumn=1^infty an(an)^2+1 também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty an(an)^2+1 converge, pois seus termos são menores ou iguais aos termos de uma série convergente sumn=1^infty an, conforme demonstrado pelo Teste da Comparação.

Exercícios relacionados