Suponha que
seja uma série convergente de termos não negativos. Com base neste fato responda:
converge ou diverge? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre séries infinitas, especificamente séries de termos não negativos. Nosso objetivo é descobrir se a série
converge ou diverge, dado que sabemos que a série
já é convergente. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos sobre convergência de séries e comparar as duas séries para ver como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma série
converge se a soma infinita dos seus termos
tende a um número finito. No nosso caso, sabemos que essa série já converge e que todos os termos
são não negativos.
Agora, queremos analisar a série
. Para entender o comportamento dessa série, podemos comparar os termos de ambas as séries.
Passo 3
Vamos examinar a expressão
. Note que, como
é não negativo, podemos comparar
com
.
Observamos que para todo
,
, já que
é sempre não negativo. Portanto:
Isso nos mostra que os termos da nova série são menores ou iguais aos termos da série original que já sabemos que converge.
Passo 4
Agora, vamos usar o Teste da Comparação para séries. Esse teste diz que se
para todo
e
converge, então
também converge.
No nosso caso,
e
já é uma série convergente com termos não negativos. Como mostramos que
para todo
, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série
também converge.
Resposta
A série
converge, pois seus termos são menores ou iguais aos termos de uma série convergente
, conforme demonstrado pelo Teste da Comparação.