Calcule os limites no infinito:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
.
g)
.
h)
.
i)
.
j)
.
k)
.
m)
.
n)
.
o)
.
p)
.
q)
.
r)
.
s)
.
l)
.
t)
.
u)
.
v)
.
w)
.
x)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
l)
t)
u)
v)
w)
x)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo dos limites no infinito das seguintes expressões (vou listar cada uma exatamente como foi dada):
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
i) .
j) .
k) .
m) .
n) .
o) .
p) .
q) .
r) .
s) .
l) .
t) .
u) .
v) .
w) .
x) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
l)
t)
u)
v)
w)
x)
Passo 2
Antes de começar a calcular, vou explicar de forma prática as técnicas que vou usar (assim você aprende para a prova):
- Para polinômios e quocientes de polinômios: olhamos os termos de maior grau (os “dominantes”). Se o numerador tiver grau maior que o denominador, o limite costuma ser
ou dependendo do sinal. Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Se o grau do denominador for maior, o limite é . - Como aplicar isso tecnicamente: dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (por exemplo ) transforma a expressão em termos que vão a quando , exceto os termos constantes que permanecem. - Para expressões com
: usamos . Importante: se e se . Esse detalhe do módulo é crucial para obter o sinal certo. - Para diferenças de raízes como
: é útil racionalizar multiplicando por para transformá-la em , o que costuma simplificar o comportamento quando é grande. - Funções trigonométricas
são limitadas entre . Portanto termos como tendem a quando .
Agora aplico essas ideias caso a caso, mostrando cada passo de simplificação.
Passo 3
a)
.
Explicação: é um polinômio. Para
o termo de maior grau domina (aqui
) e como o coeficiente é positivo, o polinômio cresce sem limite.
Conclusão: o limite é
.
Passo 4
b)
.
Técnica: dividir mentalmente por
(ou observar que
e
quando
).
Portanto a expressão tende a
.
Passo 5
c)
.
Divido numerador e denominador por
:
Quando
todos os termos com
ou
vão a
, então a fração tende a
.
Passo 6
d)
.
Método prático: divisão de polinômios (ou dividir por
):
(checando:
, resto
). O termo dominante é
, que vai para
com
. Logo o limite é
.
Passo 7
e)
.
Ambos os polinômios são de grau
. Pela regra dos graus iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos
:
Portanto o limite é
.
Passo 8
f)
.
Divida numerador e denominador por
(maior potência comum convenientemente):
Quando
o numerador comporta-se como
(que tende a
) e o denominador tende a
. Assim a razão tende a
Portanto o limite é
.
Passo 9
g)
.
Observe graus: numerador grau
, denominador grau
. Grau do numerador maior
módulo vai a infinito. Para o sinal, olhamos os sinais dos termos dominantes: numerador
(positivo quando
), denominador
(negativo para grandes
), então a razão se comporta como
que tende a
.
Logo o limite é
.
Passo 10
h)
.
Graus iguais (ambos grau
). Pela regra, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
Isso vale independentemente do sinal de
porque os
cancelam na razão. Então o limite é
.
Passo 11
i)
.
Divido por
:
Quando
o termo dominante é
, então o limite é
.
Passo 12
j)
.
Escreva
. O numerador é
. Dividindo por
:
Todos esses termos vão a
quando
, logo o limite é
.
Passo 13
k)
.
Faço divisão de polinômios:
pois
e o resto é
. O termo dominante é
que vai para
. Portanto o limite é
.
Passo 14
m)
.
Escrevendo
, o numerador é
. Divida numerador e denominador por
:
Quando
temos
e o denominador tende para
. Assim a razão tende para
(cresce como
). Logo o limite é
.
Passo 15
n)
.
Como
,
(aqui
, então
). Dividindo numerador e denominador por
:
Portanto o limite é
.
Passo 16
o)
.
Agora
então
(pois
para
). Então
Quando
os termos com
vão a
, então o quociente tende a
. Logo o limite é
.
Passo 17
p)
.
Racionalizo (multiplico por a conjugada):
Para
o denominador
, logo a fração tende a
. Portanto o limite é
.
Passo 18
q)
.
Racionalizo a parte entre parênteses:
Multiplicando por
:
Divida numerador e denominador por
(positivos quando
):
Portanto o limite é
.
Passo 19
r)
.
Aqui há um problema de domínio: a expressão
exige
, ou seja
. Mas o limite pede
, valores negativos muito grandes, onde
não é um número real. Como estamos trabalhando com limites reais, a expressão não está definida para
negativos grandes; portanto não existe limite real. (Se o enunciado quisesse
ou
isso seria outro problema; com a notação dada
não é real para
.)
Conclusão: a expressão não é definida em
para
, logo não existe limite real.
Passo 20
s)
.
Graus iguais (
e
). A regra dá a razão dos coeficientes dos
:
Portanto o limite é
.
Passo 21
l)
.
Primeiro expando o numerador:
Divido numerador e denominador por
:
Como
e
quando
, a fração tende para
.
Logo o limite é
.
Passo 22
t)
.
Divida numerador e denominador por
:
Quando
o numerador tende a
e o denominador tende a
. Portanto a fração tende a
.
Passo 23
u)
.
Graus: numerador grau
, denominador grau
. Grau do denominador maior, então o limite é
. (Dividindo por
dá termos que tendem a
.)
Passo 24
v)
.
Para
usamos
. Dividindo numerador e denominador por
:
Ao fazer a simplificação mais direta (verificando o sinal), para
isso tende para
. (Intuição: numerador
, denominador
, razão
.)
Portanto o limite é
.
Passo 25
w)
.
Para
temos
. Então
Tomando
obtemos
(pois o numerador tende a
e o denominador a
).
Logo o limite é
.
Passo 26
x)
.
Observação:
tem ordem
(pois
), enquanto
tem ordem
. Então a raiz domina e a diferença tende a
. Para justificar: escrevendo
quando
, e
. Portanto o limite é
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
m)
n)
o)
p)
q)
r) não existe (a expressão não é definida em
para
)
s)
l)
t)
u)
v)
w)
x)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
m)
n)
o)
p)
q)
r) não existe (a expressão
s)
l)
t)
u)
v)
w)
x)