Calcule os limites no infinito:
a) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(3 x^{4}+4 x^{2}-1\right).
b) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right).
c) \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t+1}{t^{2}+1}.
d) \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t^{2}+1}{t+1}.
e) \lim _{t \rightarrow-\infty} \frac{t^{2}-2 t+3}{2 t^{2}+5 t-3}.
f) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{3}-3 x^{2}+2}{-x^{2}+7}.
g) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{5}-x^{2}+7}{2-x^{2}}.
h) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-5 x^{3}+2}{7 x^{3}+3}.
i) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}+3 x+1}{x}.
j) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{x}+3 x-10}{x^{3}}.
k) \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t^{2}-1}{t-4}.
m) \lim _{v \rightarrow+\infty} \frac{v \sqrt{v}-1}{3 v-1}.
n) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
o) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
p) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right).
q) \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right).
r) \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{3 x^{2}+2 x+1}-\sqrt{2 x}\right).
s) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{10 x^{2}-3 x+4}{3 x^{2}-1}.
l) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x(2 x-7 \cos x)}{3 x^{2}-5 \operatorname{sen} x+1}.
t) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}-2 x+1}{x^{2}-1}.
u) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{4}+x^{3}-x+1}.
v) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{8-x}{\sqrt{x^{2}+7}}.
w) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{2 x^{2}-7}}{x+3}.
x) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{16 x^{4}+15 x^{3}-2 x+1}-2 x\right).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo dos limites no infinito das seguintes expressões (vou listar cada uma exatamente como foi dada):
a) \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3x^{4}+4x^{2}-1\right).
b) \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right).
c) \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t+1}{t^{2}+1}.
d) \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{2}+1}{t+1}.
e) \lim_{t\rightarrow-\infty}\frac{t^{2}-2t+3}{2t^{2}+5t-3}.
f) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^{3}-3x^{2}+2}{-x^{2}+7}.
g) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3x^{5}-x^{2}+7}{2-x^{2}}.
h) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-5x^{3}+2}{7x^{3}+3}.
i) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}+3x+1}{x}.
j) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\sqrt{x}+3x-10}{x^{3}}.
k) \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{2}-1}{t-4}.
m) \lim_{v\rightarrow+\infty}\frac{v\sqrt{v}-1}{3v-1}.
n) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
o) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
p) \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right).
q) \lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right).
r) \lim_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2x}\right).
s) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{10x^{2}-3x+4}{3x^{2}-1}.
l) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x(2x-7\cos x)}{3x^{2}-5\operatorname{sen} x+1}.
t) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{x^{2}-1}.
u) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{5x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{4}+x^{3}-x+1}.
v) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{8-x}{\sqrt{x^{2}+7}}.
w) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{2x^{2}-7}}{x+3}.
x) \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{16x^{4}+15x^{3}-2x+1}-2x\right).

Passo 2

Antes de começar a calcular, vou explicar de forma prática as técnicas que vou usar (assim você aprende para a prova):
  • Para polinômios e quocientes de polinômios: olhamos os termos de maior grau (os “dominantes”). Se o numerador tiver grau maior que o denominador, o limite costuma ser +\infty ou -\infty dependendo do sinal. Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Se o grau do denominador for maior, o limite é 0.
  • Como aplicar isso tecnicamente: dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (por exemplo x^n) transforma a expressão em termos que vão a 0 quando x\to\pm\infty, exceto os termos constantes que permanecem.
  • Para expressões com \sqrt{x^{2}+\dots}: usamos \sqrt{x^{2}+a} = |x|\sqrt{1+\frac{a}{x^{2}}}. Importante: |x| = x se x\to+\infty e |x| = -x se x\to-\infty. Esse detalhe do módulo é crucial para obter o sinal certo.
  • Para diferenças de raízes como \sqrt{A}-\sqrt{B}: é útil racionalizar multiplicando por \frac{\sqrt{A}+\sqrt{B}}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} para transformá-la em \frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}, o que costuma simplificar o comportamento quando x é grande.
  • Funções trigonométricas \sin x,\cos x são limitadas entre [-1,1]. Portanto termos como \frac{\cos x}{x} tendem a 0 quando x\to\pm\infty.
Agora aplico essas ideias caso a caso, mostrando cada passo de simplificação.

Passo 3

a) \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3x^{4}+4x^{2}-1\right).
Explicação: é um polinômio. Para x\to+\infty o termo de maior grau domina (aqui 3x^{4}) e como o coeficiente é positivo, o polinômio cresce sem limite.
Conclusão: o limite é +\infty.

Passo 4

b) \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right).
Técnica: dividir mentalmente por 1 (ou observar que \frac{1}{x}\to0 e \frac{4}{x^{2}}\to0 quando x\to+\infty).
Portanto a expressão tende a 2-0+0=2.

Passo 5

c) \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t+1}{t^{2}+1}.
Divido numerador e denominador por t^{2}:
\frac{t+1}{t^{2}+1}=\frac{\frac{1}{t}+\frac{1}{t^{2}}}{1+\frac{1}{t^{2}}}.
Quando t\to+\infty todos os termos com 1/t ou 1/t^{2} vão a 0, então a fração tende a 0.

Passo 6

d) \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{2}+1}{t+1}.
Método prático: divisão de polinômios (ou dividir por t):
\frac{t^{2}+1}{t+1}=t-1+\frac{2}{t+1}
(checando: (t+1)(t-1)=t^{2}-1, resto 2). O termo dominante é t-1, que vai para +\infty com t. Logo o limite é +\infty.

Passo 7

e) \lim_{t\rightarrow-\infty}\frac{t^{2}-2t+3}{2t^{2}+5t-3}.
Ambos os polinômios são de grau 2. Pela regra dos graus iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos t^{2}:
\frac{1}{2}.
Portanto o limite é \frac{1}{2}.

Passo 8

f) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x^{3}-3x^{2}+2}{-x^{2}+7}.
Divida numerador e denominador por x^{2} (maior potência comum convenientemente):
\frac{2x^{3}-3x^{2}+2}{-x^{2}+7} = \frac{2x -3 + \frac{2}{x^{2}}}{-1 + \frac{7}{x^{2}}}.
Quando x\to-\infty o numerador comporta-se como 2x (que tende a -\infty) e o denominador tende a -1. Assim a razão tende a
\frac{2x}{-1}\to +\infty.
Portanto o limite é +\infty.

Passo 9

g) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3x^{5}-x^{2}+7}{2-x^{2}}.
Observe graus: numerador grau 5, denominador grau 2. Grau do numerador maior \Rightarrow módulo vai a infinito. Para o sinal, olhamos os sinais dos termos dominantes: numerador \sim 3x^{5} (positivo quando x\to+\infty), denominador \sim -x^{2} (negativo para grandes x), então a razão se comporta como -3x^{3} que tende a -\infty.
Logo o limite é -\infty.

Passo 10

h) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-5x^{3}+2}{7x^{3}+3}.
Graus iguais (ambos grau 3). Pela regra, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
\frac{-5}{7}.
Isso vale independentemente do sinal de x porque os x^{3} cancelam na razão. Então o limite é -\frac{5}{7}.

Passo 11

i) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}+3x+1}{x}.
Divido por x:
\frac{x^{2}+3x+1}{x} = x + 3 + \frac{1}{x}.
Quando x\to+\infty o termo dominante é x, então o limite é +\infty.

Passo 12

j) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\sqrt{x}+3x-10}{x^{3}}.
Escreva \sqrt{x}=x^{1/2}. O numerador é x\cdot x^{1/2}+3x-10 = x^{3/2}+3x-10. Dividindo por x^{3}:
\frac{x^{3/2}}{x^{3}}+\frac{3x}{x^{3}}-\frac{10}{x^{3}}=x^{-3/2}+3x^{-2}-10x^{-3}.
Todos esses termos vão a 0 quando x\to+\infty, logo o limite é 0.

Passo 13

k) \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{2}-1}{t-4}.
Faço divisão de polinômios:
\frac{t^{2}-1}{t-4}=t+4+\frac{15}{t-4},
pois (t-4)(t+4)=t^{2}-16 e o resto é 15. O termo dominante é t+4 que vai para +\infty. Portanto o limite é +\infty.

Passo 14

m) \lim_{v\rightarrow+\infty}\frac{v\sqrt{v}-1}{3v-1}.
Escrevendo \sqrt{v}=v^{1/2}, o numerador é v^{3/2}-1. Divida numerador e denominador por v:
\frac{v^{3/2}-1}{3v-1} = \frac{v^{1/2}-\frac{1}{v}}{3-\frac{1}{v}}.
Quando v\to+\infty temos v^{1/2}\to+\infty e o denominador tende para 3. Assim a razão tende para +\infty (cresce como \frac{1}{3}v^{1/2}). Logo o limite é +\infty.

Passo 15

n) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
Como x\to+\infty, \sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} (aqui x>0, então |x|=x). Dividindo numerador e denominador por x:
\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}} \to \frac{1}{1}=1.
Portanto o limite é 1.

Passo 16

o) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
Agora x\to-\infty então \sqrt{x^{2}+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} (pois |x|=-x para x<0). Então
\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1} = \frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)} = \frac{-\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}.
Quando x\to-\infty os termos com 1/x vão a 0, então o quociente tende a -1. Logo o limite é -1.

Passo 17

p) \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right).
Racionalizo (multiplico por a conjugada):
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}=\frac{(\,x^{2}+1\,)-(\,x^{2}-1\,)}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.
Para x\to+\infty o denominador \sim x+x = 2x, logo a fração tende a 2/(2x)=1/x\to0. Portanto o limite é 0.

Passo 18

q) \lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right).
Racionalizo a parte entre parênteses:
\sqrt{x^{2}+1}-x = \frac{(\,x^{2}+1\,)-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x} = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
Multiplicando por x:
x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
Divida numerador e denominador por x (positivos quando x\to+\infty):
\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1}\to\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Portanto o limite é \frac{1}{2}.

Passo 19

r) \lim_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2x}\right).
Aqui há um problema de domínio: a expressão \sqrt{2x} exige 2x\ge0, ou seja x\ge0. Mas o limite pede x\to-\infty, valores negativos muito grandes, onde \sqrt{2x} não é um número real. Como estamos trabalhando com limites reais, a expressão não está definida para x negativos grandes; portanto não existe limite real. (Se o enunciado quisesse \sqrt{2}\,x ou \sqrt{2}\,|x| isso seria outro problema; com a notação dada \sqrt{2x} não é real para x\to -\infty.)
Conclusão: a expressão não é definida em \mathbb{R} para x\to-\infty, logo não existe limite real.

Passo 20

s) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{10x^{2}-3x+4}{3x^{2}-1}.
Graus iguais ( 2 e 2). A regra dá a razão dos coeficientes dos x^{2}:
\frac{10}{3}.
Portanto o limite é \frac{10}{3}.

Passo 21

l) \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x(2x-7\cos x)}{3x^{2}-5\operatorname{sen} x+1}.
Primeiro expando o numerador:
x(2x-7\cos x)=2x^{2}-7x\cos x.
Divido numerador e denominador por x^{2}:
\frac{2 - 7\frac{\cos x}{x}}{3 - 5\frac{\operatorname{sen} x}{x} + \frac{1}{x^{2}}}.
Como \frac{\cos x}{x}\to0 e \frac{\operatorname{sen} x}{x}\to0 quando x\to+\infty, a fração tende para \frac{2}{3}.
Logo o limite é \frac{2}{3}.

Passo 22

t) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{x^{2}-1}.
Divida numerador e denominador por x^{2}:
\frac{x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}.
Quando x\to-\infty o numerador tende a x\to-\infty e o denominador tende a 1. Portanto a fração tende a -\infty.

Passo 23

u) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{5x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{4}+x^{3}-x+1}.
Graus: numerador grau 3, denominador grau 4. Grau do denominador maior, então o limite é 0. (Dividindo por x^{4} dá termos que tendem a 0.)

Passo 24

v) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{8-x}{\sqrt{x^{2}+7}}.
Para x\to-\infty usamos |x|=-x. Dividindo numerador e denominador por |x|=-x:
\frac{8-x}{\sqrt{x^{2}+7}} = \frac{-\frac{8}{x}+1}{\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}}.
Ao fazer a simplificação mais direta (verificando o sinal), para x\to-\infty isso tende para \frac{1}{1}=1. (Intuição: numerador \sim -x, denominador \sim |x|=-x, razão \sim 1.)
Portanto o limite é 1.

Passo 25

w) \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{2x^{2}-7}}{x+3}.
Para x\to-\infty temos \sqrt{2x^{2}-7}=|x|\sqrt{2-\frac{7}{x^{2}}}=-x\sqrt{2-\frac{7}{x^{2}}}. Então
\frac{\sqrt{2x^{2}-7}}{x+3}=\frac{-x\sqrt{2-\frac{7}{x^{2}}}}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)} = \frac{-\sqrt{2-\frac{7}{x^{2}}}}{1+\frac{3}{x}}.
Tomando x\to-\infty obtemos -\sqrt{2} (pois o numerador tende a -\sqrt{2} e o denominador a 1).
Logo o limite é -\sqrt{2}.

Passo 26

x) \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{16x^{4}+15x^{3}-2x+1}-2x\right).
Observação: \sqrt{16x^{4}+\dots} tem ordem x^{2} (pois \sqrt{16x^{4}}=4x^{2}), enquanto 2x tem ordem x. Então a raiz domina e a diferença tende a +\infty. Para justificar: escrevendo
\sqrt{16x^{4}+15x^{3}-2x+1}=4x^{2}\sqrt{1+\frac{15}{16x}-\frac{2}{16x^{3}}+\frac{1}{16x^{4}}}\sim 4x^{2}
quando x\to+\infty, e 4x^{2}-2x\to+\infty. Portanto o limite é +\infty.

Resposta

a) +\infty
b) 2
c) 0
d) +\infty
e) \dfrac{1}{2}
f) +\infty
g) -\infty
h) -\dfrac{5}{7}
i) +\infty
j) 0
k) +\infty
m) +\infty
n) 1
o) -1
p) 0
q) \dfrac{1}{2}
r) não existe (a expressão \sqrt{2x} não é definida em \mathbb{R} para x\to-\infty)
s) \dfrac{10}{3}
l) \dfrac{2}{3}
t) -\infty
u) 0
v) 1
w) -\sqrt{2}
x) +\infty

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