Calcule os limites no infinito:
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende para
da função racional
Informações dadas:
tende para
.
A expressão a avaliar é .
A tarefa é calcular o limite numérico (pode ser um número finito ou /
).
A expressão a avaliar é
A tarefa é calcular o limite numérico (pode ser um número finito ou
Passo 2
Vamos lembrar uma ideia útil (explicada de forma simples): quando temos uma fração entre polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento quando
. Mais formalmente, se o numerador tem grau
e o denominador tem grau
:
- se
, o limite é ; - se
, o limite é a razão dos coeficientes líderes; - se
, o limite é infinito em módulo, com sinal determinado pelos coeficientes líderes e pelo sinal de .
Aqui o numerador tem grau
e o denominador grau
, então esperamos que o quociente cresça como uma potência de
(especificamente como
), ou seja, tende a
quando
. Vou provar isso com uma manipulação algébrica simples e também mostrar uma verificação alternativa (divisão de polinômios), para você saber duas formas de raciocinar na prova.
Passo 3
Método direto (dividir por
, o maior termo do denominador): como
para
grandes, podemos dividir numerador e denominador por
. Fazendo isso,
Passo 4
Agora use propriedades de limites:
sabemos que
sabemos que
Como o denominador
tende para
(número não nulo), podemos tomar limite termo a termo no quociente:
Como
e
, o numerador diverge para
, e o denominador tende para
. Portanto o quociente tende para
. Conclusão por este método:
Passo 5
Verificação por divisão de polinômios (uma técnica útil em provas): faça a divisão de
por
:
porque
e o resto é
. Agora, quando
,
Essa verificação confirma o resultado anterior e é uma forma prática que costuma cair em provas.