Calcule os limites no infinito:
\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t^{2}+1}{t+1}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando t tende para +\infty da função racional
\frac{t^{2}+1}{t+1}.
Informações dadas:
\;t tende para +\infty.
A expressão a avaliar é \dfrac{t^{2}+1}{t+1}.
A tarefa é calcular o limite numérico (pode ser um número finito ou +\infty / -\infty).

Passo 2

Vamos lembrar uma ideia útil (explicada de forma simples): quando temos uma fração entre polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento quando t\to\pm\infty. Mais formalmente, se o numerador tem grau m e o denominador tem grau n:
  • se m<n, o limite é 0;
  • se m=n, o limite é a razão dos coeficientes líderes;
  • se m>n, o limite é infinito em módulo, com sinal determinado pelos coeficientes líderes e pelo sinal de t^{m-n}.
Aqui o numerador tem grau 2 e o denominador grau 1, então esperamos que o quociente cresça como uma potência de t (especificamente como t^{2-1}=t), ou seja, tende a +\infty quando t\to+\infty. Vou provar isso com uma manipulação algébrica simples e também mostrar uma verificação alternativa (divisão de polinômios), para você saber duas formas de raciocinar na prova.

Passo 3

Método direto (dividir por t, o maior termo do denominador): como t\neq 0 para t grandes, podemos dividir numerador e denominador por t. Fazendo isso,
\frac{t^{2}+1}{t+1} = \frac{\dfrac{t^{2}}{t}+\dfrac{1}{t}}{\dfrac{t}{t}+\dfrac{1}{t}} = \frac{t+\dfrac{1}{t}}{1+\dfrac{1}{t}}.

Passo 4

Agora use propriedades de limites:
sabemos que
\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{t}=0.
Como o denominador 1+\dfrac{1}{t} tende para 1 (número não nulo), podemos tomar limite termo a termo no quociente:
\lim_{t\to+\infty}\frac{t+\dfrac{1}{t}}{1+\dfrac{1}{t}} = \frac{\lim_{t\to+\infty}\bigl(t+\dfrac{1}{t}\bigr)}{\lim_{t\to+\infty}\bigl(1+\dfrac{1}{t}\bigr)} = \frac{\lim_{t\to+\infty}t + \lim_{t\to+\infty}\dfrac{1}{t}}{1+0}.
Como \lim_{t\to+\infty}t=+\infty e \lim_{t\to+\infty}\dfrac{1}{t}=0, o numerador diverge para +\infty, e o denominador tende para 1. Portanto o quociente tende para +\infty. Conclusão por este método:
\lim_{t\to+\infty}\frac{t^{2}+1}{t+1}=+\infty.

Passo 5

Verificação por divisão de polinômios (uma técnica útil em provas): faça a divisão de t^{2}+1 por t+1:
\frac{t^{2}+1}{t+1}=t-1+\frac{2}{t+1},
porque (t+1)(t-1)=t^{2}-1 e o resto é 2. Agora, quando t\to+\infty,
t-1+\frac{2}{t+1}\to +\infty -1 + 0 = +\infty.
Essa verificação confirma o resultado anterior e é uma forma prática que costuma cair em provas.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados