Calcular os limites seguintes:
lim x 2(3 x^2 y+2 x y^2-2 x y)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 2l(3x^2y + 2x y^2 - 2x yr)
Aqui temos uma função de duas variáveis f(x,y)=3x^2y+2xy^2-2xy em que o limite é tomado apenas em x. Vamos usar a propriedade de continuidade de polinômios em x, que permite calcular o limite por substituição direta de x=2.

Passo 2

Reconhecemos que, para cada valor fixo de y, a função
f(x,y)=3x^2y + 2x y^2 - 2x y
é um polinômio em x e, portanto, é contínua em x=2. Logo,
limxto 2f(x,y)=f(2,y)

Passo 3

Substituímos x=2 em cada termo de f(x,y):
3x^2yl|x=2=3cdot 2^2cdot y=12y,
2x y^2l|x=2=2cdot 2cdot y^2=4y^2,
-2x yl|x=2=-2cdot 2cdot y=-4y

Passo 4

Somando os resultados:
12y + 4y^2 - 4y = 4y^2 + 8y

Resposta

limxto 2l(3x^2y + 2x y^2 - 2x yr) = 4y^2 + 8y

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