Calcular os limites seguintes:
lim y -2 x y^2-5 x+8x^2+y^2+4 x y

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite
limyto -2 x,y^2 -5x +8x^2 +y^2+4xy
Aqui a variável que tende a um valor é y e x atua como parâmetro. Como se trata de um limite de uma função racional em y, podemos usar substituição direta sempre que o denominador não se anule ao substituir y=-2.

Passo 2

Substituímos y=-2 no numerador:
xcdot(-2)^2 -5x +8 = 4x -5x +8 = -x +8

Passo 3

Substituímos y=-2 no denominador:
x^2 +(-2)^2 +4xcdot(-2) = x^2 +4 -8x = x^2 -8x +4

Passo 4

Sempre que o denominador em y=-2 for não nulo, a função é contínua em relação a y e o limite é dado pela substituição direta:
limyto -2x,y^2 -5x +8x^2 +y^2+4xy = -x +8x^2 -8x +4,
com a condição de existência
x^2 -8x +4 neq 0

Passo 5

Resolvendo
x^2 -8x +4 = 0
obtemos
x = 8 pm raiz64 -162 = 4 pm 2raiz3
Nesses valores de x o denominador se anula enquanto o numerador -x+8 vale 4mp2raiz3neq0, de modo que o quociente tende a infinito e o limite diverge (não existe finitamente).

Resposta

Para xneq 4pm2raiz3:
limyto -2x,y^2 -5x +8x^2 +y^2+4xy = -x+8x^2 -8x+4
Para x=4pm2raiz3, o limite diverge (não existe finitamente).

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