Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (0,0) x^2-y^2+1x^2+x y+1

Passo 1

O enunciado pede verificar a existência de
lim(x,y)to(0,0)x^2-y^2+1x^2+x y+1
Isso é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar a ideia de continuidade de funções racionais: se o denominador não zera num entorno de (0,0), a fração é contínua lá e o limite é só o valor da função no ponto.

Passo 2

Repara que o denominador é
;x^2+x y+1;=;1 + x^2+x y - x^2;>=;1 - |x y|
Perto de (0,0) temos |x y|<1, logo
;x^2+x y+1>0
para todos os (x,y) num entorno de (0,0). Assim a fração está bem definida e é contínua nesse entorno.

Passo 3

Como é uma função contínua em (0,0), podemos simplesmente substituir (x,y)=(0,0) na expressão para obter o limite. Basta calcular
0^2-0^2+10^2+0cdot0+1 ;=; 11 ;=; 1

Passo 4

Concluímos que o limite existe e vale 1.

Resposta

O limite existe e é 1.

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