Calcular os limites seguintes:
\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 1}} \frac{x^{2}-y x}{x^{2}-y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{\substack{x\rightarrow 1\y\rightarrow 1}} \frac{x^{2}-y x}{x^{2}-y^{2}}.
Informações dadas (o que temos):
  • A expressão é uma função de duas variáveis (x,y)\mapsto \dfrac{x^{2}-y x}{x^{2}-y^{2}}.
  • O ponto para o qual as variáveis se aproximam é (1,1).
  • Note que no ponto exato (1,1) a expressão dá forma indeterminada \tfrac{0}{0}, porque 1^{2}-1\cdot1=0 e 1^{2}-1^{2}=0.

Passo 2

Vamos manipular algebricamente a expressão para ver se simplifica. Fatore o numerador e o denominador:
x^{2}-y x = x(x-y), \qquad x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Logo a fração pode ser escrita como
\frac{x^{2}-y x}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x(x-y)}{(x-y)(x+y)}.

Passo 3

Agora cancele o fator comum (x-y). Isso é válido sempre que x\neq y. Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada
\frac{x^{2}-y x}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x}{x+y},\qquad\text{para }x\neq y.
Observação importante: a cancelamento não está definido quando x=y (a expressão original tem \tfrac{0}{0} nessa reta), mas para o cálculo do limite nos interessa o comportamento quando (x,y) se aproxima de (1,1) por pontos onde a função está definida (ou seja, pontos com x\neq y suficientemente próximos de (1,1)).

Passo 4

A função simplificada (x,y)\mapsto \dfrac{x}{x+y} é contínua em qualquer ponto onde x+y\neq 0. Em particular, no ponto (1,1) tem-se 1+1=2\neq 0, portanto a função é contínua em (1,1). Assim o limite da função simplificada quando (x,y)\to(1,1) é simplesmente o valor obtido pela substituição:
\lim_{\substack{x\rightarrow 1\y\rightarrow 1}} \frac{x}{x+y} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.

Passo 5

Para argumentar de forma totalmente segura sobre o limite da expressão original: qualquer sequência (x_n,y_n) que tende a (1,1) e que satisfaça x_n\neq y_n para todo n tem
\frac{x_n^{2}-y_n x_n}{x_n^{2}-y_n^{2}}=\frac{x_n}{x_n+y_n}\longrightarrow \frac{1}{2}.
Se uma sequência que tende a (1,1) eventualmente fica com x_n=y_n, nesses termos a expressão original não está definida nesses pontos, mas isso não impede a existência do limite: o limite em (1,1) exige que os valores da função em pontos definidos e suficientemente próximos tenham um único valor-limite, e acabamos de mostrar que todos os pontos próximos com x\neq y levam ao mesmo limite \tfrac{1}{2}. Portanto o limite da expressão original existe e vale \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Resumo intuitivo e incentivo: a ideia central é fatorar e cancelar o fator que causa a indeterminação (x-y), reduzindo o problema a uma função contínua no ponto alvo. Não se assuste com o fato de a expressão não estar definida exatamente na reta x=y — para limites bidimensionais isso é comum. Seguindo esse procedimento passo a passo dá pra resolver rápido na prova. Força aí — você tá indo bem!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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