Calcular os limites seguintes:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (o que temos):
- A expressão é uma função de duas variáveis
. - O ponto para o qual as variáveis se aproximam é
. - Note que no ponto exato
a expressão dá forma indeterminada , porque e .
Passo 2
Vamos manipular algebricamente a expressão para ver se simplifica. Fatore o numerador e o denominador:
Logo a fração pode ser escrita como
Passo 3
Agora cancele o fator comum
. Isso é válido sempre que
. Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada
Observação importante: a cancelamento não está definido quando
(a expressão original tem
nessa reta), mas para o cálculo do limite nos interessa o comportamento quando
se aproxima de
por pontos onde a função está definida (ou seja, pontos com
suficientemente próximos de
).
Passo 4
A função simplificada
é contínua em qualquer ponto onde
. Em particular, no ponto
tem-se
, portanto a função é contínua em
. Assim o limite da função simplificada quando
é simplesmente o valor obtido pela substituição:
Passo 5
Para argumentar de forma totalmente segura sobre o limite da expressão original: qualquer sequência
que tende a
e que satisfaça
para todo
tem
Se uma sequência que tende a
eventualmente fica com
, nesses termos a expressão original não está definida nesses pontos, mas isso não impede a existência do limite: o limite em
exige que os valores da função em pontos definidos e suficientemente próximos tenham um único valor-limite, e acabamos de mostrar que todos os pontos próximos com
levam ao mesmo limite
. Portanto o limite da expressão original existe e vale
.
Passo 6
Resumo intuitivo e incentivo: a ideia central é fatorar e cancelar o fator que causa a indeterminação
, reduzindo o problema a uma função contínua no ponto alvo. Não se assuste com o fato de a expressão não estar definida exatamente na reta
— para limites bidimensionais isso é comum. Seguindo esse procedimento passo a passo dá pra resolver rápido na prova. Força aí — você tá indo bem!