Calcular os limites seguintes:
lim x 1^+(1(x-1)^2)^x-1

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite limxto1^+ l(tfrac1(x-1)^2r)^x-1. O conteúdo é limites de tipo indeterminado infty^0, e vamos precisar usar logaritmo para transformar em uma forma exponencial mais manejável.

Passo 2

Definimos f(x)=l((x-1)^-2r)^x-1 e estudamos seu logaritmo:
ln f(x)=(x-1)lnl((x-1)^-2r)=(x-1)(-2ln(x-1))=-2(x-1)ln(x-1)

Passo 3

Fazemos a mudança de variável t=x-1, de modo que tto0^+ quando xto1^+. O problema reduz-se a avaliar
limtto0^+ -2tln t Sabemos que tln tto0 quando tto0^+, logo -2tln tto0.

Passo 4

Como limxto1^+ln f(x)=0, o limite original é
limxto1^+f(x)=expl(0r)=1

Resposta

1

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