Calcular os limites seguintes:
lim x 1^+(1x-1)^x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1^+l(tfrac1x-1r)^x-1. O conteúdo principal é limites de forma indeterminada infty^0, e vamos precisar usar a transformação a(x)^b(x)=e^b(x)ln a(x).

Passo 2

Primeiro reescrevemos o limite em forma exponencial. Seja
L=limxto1^+l(tfrac1x-1r)^x-1
Então
L=expl(limxto1^+(x-1)lnl(tfrac1x-1r)r)
Observe que
(x-1)lnl(tfrac1x-1r)=(x-1)(-ln(x-1))=-(x-1)ln(x-1)

Passo 3

Agora analisamos o limite do expoente
limxto1^+l[-(x-1)ln(x-1)r]
Fazendo a troca u=x-1, quando xto1^+ temos uto0^+, e o termo vira
-limuto0^+uln u
É um limite clássico em que uln uto0 quando uto0^+. Logo o expoente tende a zero.

Passo 4

Portanto
L=exp(0)=1

Resposta

1

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