Transforme para a notação de intervalos os seguintes conjuntos:
B=x in R| | x-1|-|x+2|>x.

Passo 1

A gente tem o conjunto B definido por uma inequação com valor absoluto:\n\nB = { x \in \mathbb{R} \mid |x-1| - |x+2| > x }.\n\nO conteúdo aqui é inequação com módulo, e para resolver a gente vai quebrar em casos nos pontos onde cada módulo muda de sinal, ou seja em x = -2 e x = 1.

Passo 2

Caso 1: x < -2.\n\nPara x < -2 vale x-1 < 0 e x+2 < 0, logo\n |x-1| = 1 - x, |x+2| = -x - 2
Substituindo na inequação:
(1 - x) - (-x - 2) > x implies 1 - x + x + 2 > x implies 3 > x
Como já estamos supondo x < -2, todo x < -2 satisfaz x < 3.
Conclusão: toda essa região entra na solução, ou seja x < -2.

Passo 3

Caso 2: -2 \le x < 1.\n\nAqui x+2 \ge 0 e x-1 < 0, então\n |x+2| = x + 2, |x-1| = 1 - x
A inequação fica
(1 - x) - (x + 2) > x implies 1 - x - x - 2 > x implies -2x - 1 > x implies -3x > 1 implies x < -tfrac13
Unindo com -2 \le x < 1, a solução neste caso é
[-2 \le x < -\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Caso 3: x \ge 1.\n\nPara x \ge 1 temos x-1 \ge 0 e x+2 \ge 0, então\n |x-1| = x - 1, |x+2| = x + 2
A inequação vira
(x - 1) - (x + 2) > x implies x - 1 - x - 2 > x implies -3 > x
Mas não existe x \ge 1 com x < -3. Logo nessa região não há solução.

Passo 5

Juntando todos os casos, a solução é
(-infty, -2) cup [-2, -tfrac13) = (-infty, -tfrac13)

Resposta

(-\infty, -\tfrac{1}{3})

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