Calcular os limites seguintes:
lim x 1^+(1x-1)^(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto1^+l(1x-1r)^(x-1)^2
O conteúdo envolve uma forma indeterminada do tipo ∞⁰, e vamos precisar usar logaritmo e exponencial para resolver.

Passo 2

Para lidar com a indeterminação, escrevemos a expressão na forma e^algo. Se chamarmos o limite de L, temos
L = limxto1^+l(tfrac1x-1r)^(x-1)^2 = expl(limxto1^+(x-1)^2lnl(tfrac1x-1r)r)

Passo 3

Dentro do expoente, simplificamos o logaritmo:
(x-1)^2lnl(tfrac1x-1r) = (x-1)^2l(-ln(x-1)r) = -,(x-1)^2ln(x-1)

Passo 4

Para estudar o limite desse expoente, fazemos a troca t = x-1, que tende a zero pela direita quando xto1^+. Então
-,(x-1)^2ln(x-1) = -,t^2ln t,
e queremos limtto0^+(-t^2ln t). Sabemos que t^2to0 e ln tto-infty, mas o produto t^2ln t tende a zero (porque t^2 anula mais rápido que |ln t| cresce). Logo o resultado é zero.

Passo 5

Como o expoente tende a zero, concluímos que
L = exp(0) = 1

Resposta

1

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