Calcular os limites seguintes:
lim x 0^+(cos x)^1sen x ;

Passo 1

O enunciado quer o limite quando x→0⁺ da função (cos x)^(1/sen x). Isso é um caso clássico de indeterminação do tipo 1^∞, e vamos usar logaritmo e séries de Taylor para resolver.

Passo 2

Definimos L = lim_{x→0⁺}(cos x)^(1/sen x) e trabalhamos com o logaritmo para transformar potência em produto. Escrevemos
ln L = limx→0⁺ ln(cos x)sin x

Passo 3

Para calcular ln(cos x) e sin x perto de zero, usamos as expansões de Taylor até a ordem necessária:
cos x = 1 - x^22 + o(x^2),
ln(cos x) = lnl(1 - x^22 + o(x^2)r) = -x^22 + o(x^2),
sin x = x + o(x)

Passo 4

Substituindo na expressão de ln L:
ln L = limx→0⁺ -tfracx^22 + o(x^2)x + o(x) = limx→0⁺ l(-x2 + o(x)r) = 0

Passo 5

Como ln L = 0, concluímos que L = e^0 = 1.

Resposta

1

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