Sabendo que \operatorname{tg}(2 x)=1, determinar \operatorname{tg}(x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
\tan(2x)=1
e encontrar o valor de \tan(x).
O conteúdo principal é a fórmula do ângulo duplo para a tangente:
\tan(2x)=\frac{2\,\tan(x)}{1-\tan^2(x)}.

Passo 2

Usando a fórmula do ângulo duplo, substituímos na equação dada:
\frac{2\,\tan(x)}{1-\tan^2(x)} = 1.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 1-\tan^2(x) para eliminar o denominador e obtemos
2\,\tan(x) = 1 - \tan^2(x).
Em seguida, reorganizamos em forma de equação quadrática em T=\tan(x):
\tan^2(x) + 2\,\tan(x) - 1 = 0.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara à equação
\displaystyle T^2 + 2T - 1 = 0:
\Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot(-1) = 4 + 4 = 8,
T = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.

Resposta

\tan(x) = -1 + \sqrt{2} ou \tan(x) = -1 - \sqrt{2}.

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