Calcular os limites seguintes usando o Teorema de l’Hopital :

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0(sin x)^2sin(x^2) usando o Teorema de l’Hôpital. O conteúdo é limites de funções com forma indeterminada 0/0, e vamos precisar diferenciar numerador e denominador até resolver a indeterminação.

Passo 2

Primeiro observamos que ao substituir x=0, o numerador (sin0)^2=0 e o denominador sin(0^2)=0, então temos a forma indeterminada 0/0. Assim, aplicamos o Teorema de l’Hôpital, diferenciando topo e baixo.
Diferenciando temos: o numerador (sin x)^2 gera 2sin x cdot cos x e o denominador sin(x^2) gera cos(x^2)cdot2x. Logo, o limite passa a ser:
limxto02sin xcos x2xcos(x^2)

Passo 3

Simplificamos cancelando o fator 2:
limxto0sin xcos xxcos(x^2)
e separamos em fatores:
limxto0sin xxcdot cos xcos(x^2)
Sabemos que limxto0sin xx=1, limxto0cos x=1 e limxto0cos(x^2)=cos0=1. Portanto, o produto dos limites é 1times1=1, concluindo o cálculo do limite.

Resposta

1

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