Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y''+6y'+8y=3e^-2x+2x pelo método dos coeficientes a determinar. Isso envolve primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois um palpite de solução particular que cubra cada termo do lado direito.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica associada:
r^2+6r+8=0
Resolvendo, temos
r^2+6r+8=(r+2)(r+4)=0
logo r=-2 e r=-4. Assim
yh(x)=C1e^-2x+C2e^-4x

Passo 3

Para o termo 3e^-2x do lado direito, como e^-2x já aparece na homogênea (raiz simples r=-2), multiplicamos o palpite por x. Para o termo 2x, um polinômio de grau 1, usamos outro polinômio de grau 1. Logo o palpite geral é
yp(x)=A x e^-2x+B x+C

Passo 4

Agora computamos as derivadas de yp. Primeiro
yp'=A(1-2x)e^-2x+B,
yp''=A(4x-4)e^-2x

Passo 5

Substituímos yp, yp', yp'' na equação original:
yp''+6yp'+8yp = A(4x-4)e^-2x+6l(A(1-2x)e^-2x+Br)+8l(Ax e^-2x+Bx+Cr)
Isso simplifica para
2A e^-2x+8B x+(6B+8C)
Esse resultado deve ser igual a 3e^-2x+2x.

Passo 6

Igualando coeficientes dos termos independentes, obtemos o sistema
2A=3,
8B=2,
6B+8C=0
Daí
A=tfrac32, B=tfrac14, C=-tfrac316

Passo 7

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma de yh com yp:
y(x)=C1e^-2x+C2e^-4x+tfrac32x e^-2x+tfrac14x-tfrac316

Resposta

y(x)=C_{1}e{-2x}+C_{2}e{-4x}+\tfrac{3}{2}x e^{-2x}+\tfrac{1}{4}x-\tfrac{3}{16}

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