Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
pelo método dos coeficientes a determinar. Isso envolve primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois um palpite de solução particular que cubra cada termo do lado direito.
Passo 2
Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica associada:
Resolvendo, temos
logo
e
. Assim
Passo 3
Para o termo
do lado direito, como
já aparece na homogênea (raiz simples
), multiplicamos o palpite por
. Para o termo
, um polinômio de grau 1, usamos outro polinômio de grau 1. Logo o palpite geral é
Passo 4
Agora computamos as derivadas de
. Primeiro
Passo 5
Substituímos
na equação original:
Isso simplifica para
Esse resultado deve ser igual a
.
Passo 6
Igualando coeficientes dos termos independentes, obtemos o sistema
Daí
Passo 7
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma de
com
:
Resposta
y(x)=C_{1}e{-2x}+C_{2}e{-4x}+\tfrac{3}{2}x e^{-2x}+\tfrac{1}{4}x-\tfrac{3}{16}