Calcular os limites seguintes usando o Teorema de l’Hopital :
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular o limite
Isso cai no tema de limites indeterminados 0/0 e vamos usar o Teorema de l’Hôpital, que diz que se o numerador e o denominador tendem a zero e são diferenciáveis próximos a esse ponto, podemos derivar cima e baixo para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro conferimos que é mesmo uma indeterminação do tipo 0/0: quando x→0, temos
, então o numerador é
e o denominador
vai a 0 também.
Pelo Teorema de l’Hôpital, podemos calcular
Agora derivamos numerador e denominador.
Passo 3
A derivada de
é
e a de
é zero. A derivada de
é 1. Então o quociente das derivadas fica
Passo 4
Basta agora avaliar esse resultado em
. Substituindo, temos
Passo 5
Portanto, o valor do limite é o número constante resultante dessa avaliação.
Concluímos que o limite pedido é um valor finito igual a -1.
Resposta
-1