Calcular os limites seguintes usando o Teorema de l’Hopital :

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular o limite
limxto0arccos(x)-tfracpi2x
Isso cai no tema de limites indeterminados 0/0 e vamos usar o Teorema de l’Hôpital, que diz que se o numerador e o denominador tendem a zero e são diferenciáveis próximos a esse ponto, podemos derivar cima e baixo para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro conferimos que é mesmo uma indeterminação do tipo 0/0: quando x→0, temos arccos(0)=tfracpi2, então o numerador é tfracpi2-tfracpi2=0 e o denominador x vai a 0 também.
Pelo Teorema de l’Hôpital, podemos calcular
limxto0arccos(x)-tfracpi2x=limxto0ddxl[arccos(x)-tfracpi2r]ddx[x]
Agora derivamos numerador e denominador.

Passo 3

A derivada de arccos(x) é -1/raiz1-x^2 e a de tfracpi2 é zero. A derivada de x é 1. Então o quociente das derivadas fica
-1/raiz1-x^21=-1raiz1-x^2

Passo 4

Basta agora avaliar esse resultado em xto0. Substituindo, temos
-1raiz1-0^2=-1

Passo 5

Portanto, o valor do limite é o número constante resultante dessa avaliação.
Concluímos que o limite pedido é um valor finito igual a -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados