Calcular os limites trigonométricos
\lim _{x \rightarrow p} \frac{\operatorname{sen}^{2} x-\operatorname{sen}^{2} p}{x^{2}-p^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to p}\frac{\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen}^2 p}{x^2 - p^2}.
O conteúdo essencial é trabalhar com identidades de diferença de quadrados e usar limites trigonométricos fundamentais, especialmente \lim_{u\to0} \frac{\operatorname{sen} u}{u} = 1 e o fato de que \lim_{x\to p}\frac{\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} p}{x - p} = \cos p.

Passo 2

Vamos usar a identidade de diferença de quadrados tanto no numerador quanto no denominador. Temos
\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen}^2 p = (\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} p)\,(\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} p),
x^2 - p^2 = (x - p)\,(x + p).

Passo 3

Substituindo essas fatorações na expressão do limite, obtemos
\frac{\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen}^2 p}{x^2 - p^2} = \frac{(\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} p)\,(\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} p)}{(x - p)\,(x + p)} = \Bigl(\frac{\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} p}{x - p}\Bigr)\,\Bigl(\frac{\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} p}{x + p}\Bigr).

Passo 4

Agora avaliamos cada fator separadamente quando x\to p:
  1. \displaystyle \lim_{x\to p}\frac{\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} p}{x - p} = \cos p.
  2. \displaystyle \lim_{x\to p}\frac{\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} p}{x + p} = \frac{\operatorname{sen} p + \operatorname{sen} p}{p + p} = \frac{2\,\operatorname{sen} p}{2\,p} = \frac{\operatorname{sen} p}{p}.

Passo 5

Multiplicando os resultados dos dois fatores, concluímos que
\lim_{x\to p}\frac{\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen}^2 p}{x^2 - p^2} = \cos p \;\cdot\;\frac{\operatorname{sen} p}{p} = \frac{\operatorname{sen} p \,\cos p}{p}.

Resposta

\frac{\operatorname{sen} p \,\cos p}{p}.

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