Seja a função f(x) a qual satisfaz f(-x)=f(x). Determinar f^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá uma função f que satisfaz f(-x)=f(x), ou seja, f é uma função par, e pede o valor de f'(0). Vamos usar a propriedade de paridade junto com a regra da cadeia para derivar essa igualdade.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
f(-x)=f(x)
em relação a x, no lado esquerdo aplicamos a regra da cadeia, obtendo
\frac{d}{dx}f(-x)=f'(-x)\cdot(-1)=-f'(-x),
e no lado direito
\frac{d}{dx}f(x)=f'(x).
Logo temos
-\,f'(-x)=f'(x).

Passo 3

Substituindo x=0 na relação -f'(-x)=f'(x), vem
-\,f'(0)=f'(0),
o que implica
2\,f'(0)=0.

Passo 4

Da igualdade 2\,f'(0)=0 concluímos que
f'(0)=0.

Resposta

f'(0)=0

Exercícios relacionados