Determinar f^{\prime}(x) no caso em que f(x) seja
\log _{x} x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\log_{x}(x^{2}). Para isso vamos usar a fórmula de mudança de base de logaritmos e depois derivar. Note que a definição de \log_{a}(b) exige a>0 e a\neq1, e aqui b=x^{2}>0 para x\neq0. Assim o domínio relevante é x>0, x\neq1.

Passo 2

Aplicamos a mudança de base escrevendo o logaritmo em termos de logaritmo natural:
f(x)=\log_{x}(x^{2}) =\frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{\ln(x)}.

Passo 3

Como \ln(x^{2})=2\ln(x), temos
f(x)=\frac{2\ln(x)}{\ln(x)}=2
para todo x>0, x\neq1.

Passo 4

Como f(x) é a constante 2 em seu domínio, sua derivada é
f^{\prime}(x)=0.

Resposta

f^{\prime}(x)=0,\quad x>0,\;x\neq1.

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