Determinar f^{\prime}(x) no caso em que f(x) seja
e^{a x} \cos (b x+c)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=e^{ax}\cos(bx+c). O conteúdo aqui é cálculo diferencial, e vamos usar a combinação da regra do produto com a regra da cadeia aplicada à exponencial e à função trigonométrica.

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{ax},
v(x)=\cos(bx+c),
de modo que
f(x)=u(x)\,v(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v separadamente:
Para u(x)=e^{ax}, a regra da cadeia dá
u'(x)=a\,e^{ax}.
Para v(x)=\cos(bx+c), a regra da cadeia em \cos(z) com z=bx+c
v'(x)=-\sin(bx+c)\,\cdot b = -b\,\sin(bx+c).

Passo 4

Aplicando a regra do produto \,(u\,v)'=u'\,v+u\,v', temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =a\,e^{ax}\cos(bx+c)+e^{ax)\bigl(-b\,\sin(bx+c)\bigr).

Passo 5

Fatorando e^{ax} em ambos os termos, obtemos a forma mais compacta:
f'(x)=e^{ax}\bigl(a\cos(bx+c)-b\sin(bx+c)\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{ax}\bigl(a\cos(bx+c)-b\sin(bx+c)\bigr).

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