Para a função f(x)=x^{2}-6 x+8 verifique que f^{\prime}(5)-3 f^{\prime}(2)=f^{\prime}(8).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = x^{2} - 6x + 8
e pede para verificar a identidade
f'(5)\;-\;3\,f'(2)\;=\;f'(8).
O conteúdo aqui é cálculo de derivada de polinômio e avaliação da derivada em pontos específicos.

Passo 2

Vamos obter a derivada geral de f. Aplicando a regra do poder e lembrando que a derivada de constante é zero, temos
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\;-\;6\,\frac{d}{dx}(x)\;+\;\frac{d}{dx}(8) =2x \;-\;6 \;+\;0 =2x-6.

Passo 3

Agora avaliamos f'(x) em x=5, x=2 e x=8:
f'(5) = 2\cdot5 - 6 = 10 - 6 = 4,
f'(2) = 2\cdot2 - 6 = 4 - 6 = -2,
f'(8) = 2\cdot8 - 6 = 16 - 6 = 10.

Passo 4

Calculamos o lado esquerdo da identidade:
f'(5) - 3\,f'(2) = 4 \;-\;3\cdot(-2) = 4 + 6 = 10.
Como o lado direito é
f'(8)=10,
vemos que
f'(5) - 3\,f'(2)=10=f'(8),
logo a igualdade está verificada.

Resposta

A identidade é verdadeira, pois
f'(5) - 3\,f'(2) = 10 = f'(8).

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