Calcular os limites usando as regras de L’Hospital
lim x -3(12 x+6-13+x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto -3l(12x+6-1x+3r)
É um caso de indeterminação do tipo infty-infty. Vamos transformar em uma única fração para obter uma forma 0/0 e então usar a regra de L'Hôpital.

Passo 2

Juntando em único quociente, temos
12x+6-1x+3 =(x+3)-(2x+6)(2x+6)(x+3) =-x-3(2x+6)(x+3)
Ao substituir x=-3, o numerador é -(-3)-3=0 e o denominador é 0cdot0, ou seja, forma “ 0/0”.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente:
– Numerador:
ddx[-x-3]=-1
– Denominador (produto (2x+6)(x+3)):
ddx[(2x+6)(x+3)] =2,(x+3)+(2x+6)cdot1 =2x+6+2x+6 =4x+12
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limxto-3l(12x+6-1x+3r) =limxto-3-14x+12

Passo 4

Reescrevendo
-14x+12=-14(x+3),
vê-se que, ao aproximar x de -3, o denominador tende a zero, gerando divergência infinita. O sinal depende do lado de aproximação:
– Se xto-3^+, então x+3>0 e -14(x+3)to -infty.
– Se xto-3^-, então x+3<0 e -14(x+3)to +infty.

Resposta

limxto-3^+l(12x+6-1x+3r)=-infty limxto-3^-l(12x+6-1x+3r)=+infty
Portanto o limite bilateral não existe (diverge).

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