Calcular os limites usando as regras de L’Hospital
lim x 0 raiz[3]tg(17 x)x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0raiz[3]tan(17x)x
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo envolve identificar uma forma indeterminada na fração interna tan(17x)/x e aplicar L’Hospital, depois usar a continuidade da raiz cúbica.

Passo 2

Analisando a parte interna
tan(17x)x,
ao levar xto0 temos tan(17x)to0 e xto0, ou seja, é da forma tfrac00. Logo podemos aplicar a regra de L’Hospital a essa fração.

Passo 3

Pela regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
  • ddxl[tan(17x)r]=17sec^2(17x),
  • ddx[x]=1.
    Assim,
limxto0tan(17x)x =limxto017sec^2(17x)1 =17cdotsec^2(0) =17cdot1 =17

Passo 4

Agora temos
limxto0raiz[3]tan(17x)x =raiz[3]limxto0tan(17x)x
pois a função umapsto u^1/3 é contínua em u>0. Logo o limite é
raiz[3]17

Resposta

raiz[3]17

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