Calcular os limites usando as regras de L’Hospital
lim x -infty(x5+x)^x

Passo 1

O enunciado pede
limxto -infty(x5+x)^x
e notamos que a base tfracxx+5to1 e o expoente xto-infty, ou seja, temos uma indeterminação do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar logaritmo e depois a regra de L’Hospital.

Passo 2

Seja
L = limxto -inftyl(tfracxx+5r)^x
Tomamos logaritmo natural para trazer o expoente para fora:
ln L = limxto -infty x ,ln!l(tfracxx+5r)

Passo 3

Reescrevemos a fração dentro do logaritmo de forma mais conveniente:
xx+5 = 11 + 5/x Longrightarrow ln L = limxto -infty x ,ln!l(tfrac11+5/xr) = limxto -inftyl[-,x,ln(1+5/x)r]
Aqui surge a forma indeterminada inftycdot0.

Passo 4

Transformamos o produto em quociente para usar L’Hospital:
-,x,ln(1+5/x) = -,ln(1+5/x)1/x
Aplicando L’Hospital em
limxto -inftyln(1+5/x)1/x,
calculamos as derivadas de numerador e denominador:
ddxln(1+5/x) = -5x^2(1+5/x), ddx(1/x) = -1x^2
Portanto,
limxto -inftyln(1+5/x)1/x = limxto -infty -5/(x^2(1+5/x))-1/x^2 = limxto -infty51+5/x = 5
Logo
ln L = -,5.

Passo 5

Voltando à expressão original,
L = e^ln L = e^-5

Resposta

e^-5

Exercícios relacionados