Sejam gamma(t)=(t, e^-a t sen(t), e^-at cos (t)) para 0 <= t <= 2 pi um caminho e o campo de vetores
X(x, y, z)=(F, G, H)=1x^2+y^2+z^2(x, y, z)
i) Encontre a integral curvilínea:
integralgamma F d x+G d y+H d z=integral0^2 pi X(gamma(t)) cdot gamma^prime(t) d t
ii) Mostre que X é conservativo R^3 backslash(0,0,0) e encontre f tal que X= nabla f=(fx, fy, fz).

Passo 1

O enunciado nos dá o caminho
gamma(t) = l(t,;e^-a tsin t,;e^-a tcos tr) para 0<= t<=2pi
e o campo de vetores
X(x,y,z)=l(F,G,Hr)=1x^2+y^2+z^2(x,y,z)
Pede-se i) calcular
integralgammaF,dx + G,dy + H,dz =integral0^2piXl(gamma(t)r)cdotgamma'(t),dt,
e ii) mostrar que X é conservativo em R^3setminus0 e achar f tal que X=nabla f.

Passo 2

Calculemos primeiro
gamma'(t) e |gamma(t)|^2. Temos
|gamma(t)|^2 = t^2 + e^-2at(sin^2t+cos^2t) = t^2 + e^-2at,
gamma'(t) =l(1,;e^-at(cos t - asin t),;-,e^-at(sin t + acos t)r)
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Xl(gamma(t)r) =1t^2+e^-2at l(t,;e^-atsin t,;e^-atcos tr)

Passo 3

O produto escalar é
X(gamma(t))cdotgamma'(t) =1t^2+e^-2atl[ tcdot1 +e^-atsin tcdot e^-at(cos t - asin t) +e^-atcos tcdotl(-e^-at(sin t + acos t)r) r]
Expandindo e somando os termos em e^-2at obtemos
X(gamma(t))cdotgamma'(t) =t - a,e^-2at,t^2+e^-2at,

Passo 4

Note que
ddtl(t^2+e^-2atr) =2t -2a,e^-2at,
portanto
t - a,e^-2att^2+e^-2at =12,2t -2a,e^-2att^2+e^-2at =12,ddtlnl(t^2+e^-2atr)

Passo 5

Integramos de 0 a 2pi:
integral0^2piX(gamma(t))cdotgamma'(t),dt =12l[ lnl((2pi)^2+e^-4pi ar) -lnl(0^2+e^0r) r] =12lnl(4pi^2+e^-4pi ar)

Passo 6

Para mostrar que é conservativo em basta observar que é um campo radial da forma
cujo rotacional é zero em (ou calcular diretamente).

Passo 7

Procuramos f tal que
nabla f =l(fx,fy,fzr) =1x^2+y^2+z^2(x,y,z)
Integrando fx = xx^2+y^2+z^2 em relação a x obtém-se
f(x,y,z) =12lnl(x^2+y^2+z^2r)+C

Passo 8

Escolhendo temos a potencial
que satisfaz em .

Resposta

i)
ii) é conservativo em e uma potencial é

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