Sejam
para
um caminho e o campo de vetores
i) Encontre a integral curvilínea:
ii) Mostre que
é conservativo
e encontre
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o caminho
para
e o campo de vetores
e o campo de vetores
Pede-se i) calcular
e ii) mostrar que
é conservativo em
e achar
tal que
.
Passo 2
Calculemos primeiro
e
. Temos
Logo
Passo 3
O produto escalar é
Expandindo e somando os termos em
obtemos
Passo 4
Note que
portanto
Passo 5
Integramos de
a
:
Passo 6
Para mostrar que
é conservativo em basta observar que é um campo radial da forma
cujo rotacional é zero em (ou calcular
diretamente).
Passo 7
Procuramos
tal que
Integrando
em relação a
obtém-se
Passo 8
Escolhendo
temos a potencial
que satisfaz
em .
Resposta
i)
ii) é conservativo em e uma potencial é
ii)