Faça uma pesquisa bibliográfica (citar a fonte) e resolva cinco exercícios sobre integral de linha da forma
integralgamma L d x+M d y
Obs: Resolver usando o Teorema de Green ou diretamente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, fazer uma pequena pesquisa bibliográfica sobre integral de linha da forma
integralgammaL,dx + M,dy
e, em seguida, resolver cinco exercícios aplicando o Teorema de Green ou cálculo paramétrico direto. O conteúdo envolvido é teoria de campos vetoriais em R^2, formas diferenciais de primeira ordem, campos conservativos e o Teorema de Green.

Passo 2

Pesquisa bibliográfica básica:
Fonte 1: James Stewart, “Calculus: Early Transcendentals”, 8ª edição, Seção 17.2 (Line Integrals) e Seção 17.4 (Green’s Theorem).
Fonte 2: Jerrold E. Marsden e Anthony J. Tromba, “Vector Calculus”, 6ª edição, Capítulo 4 (Line Integrals and Green’s Theorem).

Passo 3

Exercício 1
Calcular
integralgamma(-y),dx + x,dy
onde gamma é o círculo unitário x^2+y^2=1 orientado positivamente.
Aplicando o Teorema de Green:
partialpartial x(x)-partialpartial y(-y) =1 - (-1)=2
Como a área do círculo é pi,
integralgamma(-y),dx + x,dy =integral duplaD2,dA =2cdotpi =2pi

Passo 4

Exercício 2
Calcular
integralgammay,dx + x,dy
onde gamma é a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 orientada positivamente.
Pelo Teorema de Green:
partialpartial x(x)-partialpartial y(y) =1-1=0,
logo a integral de linha é zero:
integralgammay,dx+x,dy=0

Passo 5

Exercício 3
Calcular
integralgamma2xy,dx + x^2,dy
onde gamma é qualquer curva de (0,0) a (1,1).
Note que o campo é conservativo, pois
partialpartial y(2xy)=2x, partialpartial x(x^2)=2x
Logo existe potencial phi(x,y)=x^2y. Assim,
integralgamma2xy,dx + x^2,dy =phi(1,1)-phi(0,0) =1^2cdot1-0=1

Passo 6

Exercício 4
Calcular
integralgammae^xcos y,dx - e^xsin y,dy
sobre qualquer curva fechada gamma.
Verifica-se que
partialpartial y(e^xcos y) =-e^xsin y, partialpartial x(-e^xsin y) =-e^xsin y,
campo conservativo com potencial phi(x,y)=e^xcos y. Em curva fechada,
integralgammae^xcos y,dx - e^xsin y,dy=0

Passo 7

Exercício 5
Calcular
integralgammay^2,dx + 2xy,dy
onde gamma é a fronteira orientada positivamente da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=2x-x^2.
Pelo Teorema de Green:
partialpartial x(2xy)-partialpartial y(y^2) =2y - 2y=0,
logo
integralgammay^2,dx +2xy,dy=0

Resposta

Bibliografia:
Stewart, J. “Calculus: Early Transcendentals”, 8ª ed., Seções 17.2 e 17.4;
Marsden, J.E. & Tromba, A.J. “Vector Calculus”, 6ª ed., Capítulo 4.
Resultados dos exercícios:
1) 2pi 2) 0 3) 1 4) 0 5) 0

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