Faça uma pesquisa bibliográfica (citar a fonte) e resolva cinco exercícios sobre integral de linha da forma
Obs: Resolver usando o Teorema de Green ou diretamente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, fazer uma pequena pesquisa bibliográfica sobre integral de linha da forma
e, em seguida, resolver cinco exercícios aplicando o Teorema de Green ou cálculo paramétrico direto. O conteúdo envolvido é teoria de campos vetoriais em
, formas diferenciais de primeira ordem, campos conservativos e o Teorema de Green.
Passo 2
Pesquisa bibliográfica básica:
Fonte : James Stewart, “Calculus: Early Transcendentals”,
ª edição, Seção
(Line Integrals) e Seção
(Green’s Theorem).
Fonte : Jerrold E. Marsden e Anthony J. Tromba, “Vector Calculus”,
ª edição, Capítulo
(Line Integrals and Green’s Theorem).
Fonte
Fonte
Passo 3
Exercício
Calcular
Calcular
onde
é o círculo unitário
orientado positivamente.
Aplicando o Teorema de Green:
Aplicando o Teorema de Green:
Como a área do círculo é
,
Passo 4
Exercício
Calcular
Calcular
onde
é a elipse
orientada positivamente.
Pelo Teorema de Green:
Pelo Teorema de Green:
logo a integral de linha é zero:
Passo 5
Exercício
Calcular
Calcular
onde
é qualquer curva de
a
.
Note que o campo é conservativo, pois
Note que o campo é conservativo, pois
Logo existe potencial
. Assim,
Passo 6
Exercício
Calcular
Calcular
sobre qualquer curva fechada
.
Verifica-se que
Verifica-se que
campo conservativo com potencial
. Em curva fechada,
Passo 7
Exercício
Calcular
Calcular
onde
é a fronteira orientada positivamente da região limitada pelas curvas
e
.
Pelo Teorema de Green:
Pelo Teorema de Green:
logo
Resposta
Bibliografia:
Stewart, J. “Calculus: Early Transcendentals”, ª ed., Seções
e
;
Marsden, J.E. & Tromba, A.J. “Vector Calculus”, ª ed., Capítulo
.
Stewart, J. “Calculus: Early Transcendentals”,
Marsden, J.E. & Tromba, A.J. “Vector Calculus”,
Resultados dos exercícios:
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