Calcule o limite a seguir. Identifique a assíntota horizontal, se houver:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}+5 x-7}{4 x^{2}-2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^{2}+5x-7}{4x^{2}-2x+1}
e que eu identifique a assíntota horizontal, se existir. Informações dadas:
  • A função é a razão de dois polinômios: numerador 3x^{2}+5x-7 e denominador 4x^{2}-2x+1.
  • O limite é pedido quando x tende para +\infty.
  • Preciso também dizer qual é a assíntota horizontal (se houver).

Passo 2

Ideia do método (explicando didaticamente): quando temos uma função racional (quociente de polinômios) e queremos o comportamento quando x\to\infty, o termo que mais importa são os de maior grau (maior potência) no numerador e no denominador. Uma forma robusta de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}). Isso transforma a expressão em termos que tendem a zero (como \tfrac{1}{x}, \tfrac{1}{x^{2}}), que são fáceis de avaliar quando x\to\infty. Vou aplicar exatamente isso.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{2}. Mostro a manipulação passo a passo:
\frac{3x^{2}+5x-7}{4x^{2}-2x+1} = \frac{\dfrac{3x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{5x}{x^{2}}-\dfrac{7}{x^{2}}}{\dfrac{4x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{2x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{3+\dfrac{5}{x}-\dfrac{7}{x^{2}}}{4-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora analiso o comportamento dos termos que envolvem x. Temos as seguintes propriedades elementares (vou explicar por quê):
  • Quando x\rightarrow\infty, \dfrac{1}{x}\rightarrow 0. Isso é óbvio: conforme x cresce sem limite, a fração 1/x fica cada vez menor, aproximando-se de zero.
  • Consequentemente, \dfrac{1}{x^{2}}\rightarrow 0 também (ainda mais rápido).
    Portanto,
\frac{5}{x}\to 0,\qquad \frac{7}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{2}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{2}}\to 0
quando x\to\infty.

Passo 5

Aplicando esses limites termo a termo na expressão obtida no Passo 3, temos
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3+\dfrac{5}{x}-\dfrac{7}{x^{2}}}{4-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{3+0-0}{4-0+0} = \frac{3}{4}.
Logo o limite pedido é \dfrac{3}{4}.

Passo 6

Interpretação como assíntota horizontal: quando o limite de f(x) quando x\to\infty existe e é igual a um número finito L, a reta y=L é uma assíntota horizontal do gráfico à direita. Aqui, como
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+5x-7}{4x^{2}-2x+1}=\frac{3}{4},
a reta
y=\frac{3}{4}
é a assíntota horizontal para x\to\infty. (Observação adicional: para funções racionais com polinômios de mesmo grau no numerador e denominador, o limite quando x\to -\infty também será a razão dos coeficientes líderes; aqui daria o mesmo \tfrac{3}{4}, logo a reta é assíntota horizontal também para x\to-\infty.)

Passo 7

Resumo do raciocínio geral (fórmula prática que é útil na prova):
  • Se graus do numerador e denominador são iguais, o limite quando x\to\pm\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se o grau do numerador é menor, o limite é 0.
  • Se o grau do numerador é maior, o limite é \pm\infty (ou não existe finitamente).
    No nosso caso, os dois graus são 2, então o limite é \dfrac{3}{4}, conforme calculado.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}
y=\displaystyle \frac{3}{4}

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