Calcule o limite a seguir. Identifique a assíntota horizontal, se houver:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
e que eu identifique a assíntota horizontal, se existir. Informações dadas:
- A função é a razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - O limite é pedido quando
tende para . - Preciso também dizer qual é a assíntota horizontal (se houver).
Passo 2
Ideia do método (explicando didaticamente): quando temos uma função racional (quociente de polinômios) e queremos o comportamento quando
, o termo que mais importa são os de maior grau (maior potência) no numerador e no denominador. Uma forma robusta de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Isso transforma a expressão em termos que tendem a zero (como
,
), que são fáceis de avaliar quando
. Vou aplicar exatamente isso.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Mostro a manipulação passo a passo:
Passo 4
Agora analiso o comportamento dos termos que envolvem
. Temos as seguintes propriedades elementares (vou explicar por quê):
- Quando
, . Isso é óbvio: conforme cresce sem limite, a fração fica cada vez menor, aproximando-se de zero. - Consequentemente,
também (ainda mais rápido).
Portanto,
quando
.
Passo 5
Aplicando esses limites termo a termo na expressão obtida no Passo 3, temos
Logo o limite pedido é
.
Passo 6
Interpretação como assíntota horizontal: quando o limite de
quando
existe e é igual a um número finito
, a reta
é uma assíntota horizontal do gráfico à direita. Aqui, como
a reta
é a assíntota horizontal para
. (Observação adicional: para funções racionais com polinômios de mesmo grau no numerador e denominador, o limite quando
também será a razão dos coeficientes líderes; aqui daria o mesmo
, logo a reta é assíntota horizontal também para
.)
Passo 7
Resumo do raciocínio geral (fórmula prática que é útil na prova):
- Se graus do numerador e denominador são iguais, o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. - Se o grau do numerador é menor, o limite é
. - Se o grau do numerador é maior, o limite é
(ou não existe finitamente).
No nosso caso, os dois graus são, então o limite é , conforme calculado.