Calcular os limites.
x) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função envolvida é f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}.
  • O ponto onde avaliamos o limite é x=0.
  • Para x próximo de 0 temos \sqrt{1+x} e \sqrt{1-x} bem definidos (desde que |x|<1).
  • Note que ao substituir x=0 diretamente, o numerador vale \sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}=1+1=2 e o denominador vale 0, portanto a forma é do tipo “não nula dividido por zero” — isso indica que pode haver divergência para infinito, mas precisamos analisar com cuidado os sinais e os limites laterais.

Passo 2

Estratégia: vamos eliminar as raízes do numerador usando a técnica do conjugado (um truque clássico). Explico o que é isso: se você tem uma soma de raízes \sqrt{a}+\sqrt{b}, multiplicar numerador e denominador por \sqrt{a}-\sqrt{b} transforma a expressão numa diferença de quadrados, porque
(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b,
ou seja, as raízes desaparecem. Esse procedimento é útil para simplificar e analisar limites quando aparecem somas de radicais.

Passo 3

Aplicando o conjugado ao numerador de \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x} (multiplicamos por \dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}, válido para x\neq 0) obtemos:
\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x} = \frac{\big(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\big)\big(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\big)}{x\big(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\big)}.
No numerador temos diferença de quadrados; calculando:
\big(\sqrt{1+x}\big)^2-\big(\sqrt{1-x}\big)^2=(1+x)-(1-x)=2x.
Portanto, para x\neq 0,
\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}=\frac{2x}{x\big(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\big)}=\frac{2}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento dessa forma simplificada quando x\to 0. Primeiro note que
\lim_{x\to 0}\big(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\big)=\sqrt{1+0}-\sqrt{1-0}=1-1=0.
Ou seja, o denominador da fração \dfrac{2}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} tende a 0 quando x\to 0. Precisamos saber de que lado (positivo ou negativo) esse denominador se aproxima de 0, porque isso define o sinal da razão.

Passo 5

Análise dos limites laterais:
  • Para x\to 0^+ (aproximação pela direita): se x>0 então 1+x>1-x, logo \sqrt{1+x}>\sqrt{1-x}. Portanto \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}>0 e tende a 0 por ser a diferença de duas quantidades que se aproximam de 1. Assim \dfrac{2}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} tende para +\infty. Em outras palavras,
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}=+\infty.
  • Para x\to 0^- (aproximação pela esquerda): se x<0 então 1+x<1-x, logo \sqrt{1+x}<\sqrt{1-x}. Portanto \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}<0 e tende a 0 (pela esquerda), o que faz a razão \dfrac{2}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} tender para -\infty. Ou seja,
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}=-\infty.
Uma maneira alternativa (mais rápida) de ver o mesmo é usar a expansão linear aproximada \sqrt{1\pm x}\approx 1\pm \dfrac{x}{2} para x pequeno, que dá numerador aproximadamente 2 e o quociente aproximadamente \dfrac{2}{x}, confirmando os sinais opostos dos limites laterais.

Passo 6

Conclusão: como os limites laterais não coincidem ( +\infty à direita e -\infty à esquerda), o limite bilateral em x\to 0 não existe (diverge). Não existe um número finito nem um infinito único que seja o limite bilateral.

Resposta

\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}=+\infty
\lim_{x\to 0^-}\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x} não existe.

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