Calcular os limites.
x)
x)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função envolvida é
. - O ponto onde avaliamos o limite é
. - Para
próximo de temos e bem definidos (desde que ). - Note que ao substituir
diretamente, o numerador vale e o denominador vale , portanto a forma é do tipo “não nula dividido por zero” — isso indica que pode haver divergência para infinito, mas precisamos analisar com cuidado os sinais e os limites laterais.
Passo 2
Estratégia: vamos eliminar as raízes do numerador usando a técnica do conjugado (um truque clássico). Explico o que é isso: se você tem uma soma de raízes
, multiplicar numerador e denominador por
transforma a expressão numa diferença de quadrados, porque
ou seja, as raízes desaparecem. Esse procedimento é útil para simplificar e analisar limites quando aparecem somas de radicais.
Passo 3
Aplicando o conjugado ao numerador de
(multiplicamos por
, válido para
) obtemos:
No numerador temos diferença de quadrados; calculando:
Portanto, para
,
Passo 4
Agora analisamos o comportamento dessa forma simplificada quando
. Primeiro note que
Ou seja, o denominador da fração
tende a
quando
. Precisamos saber de que lado (positivo ou negativo) esse denominador se aproxima de
, porque isso define o sinal da razão.
Passo 5
Análise dos limites laterais:
- Para
(aproximação pela direita): se então , logo . Portanto e tende a por ser a diferença de duas quantidades que se aproximam de . Assim tende para . Em outras palavras,
- Para
(aproximação pela esquerda): se então , logo . Portanto e tende a (pela esquerda), o que faz a razão tender para . Ou seja,
Uma maneira alternativa (mais rápida) de ver o mesmo é usar a expansão linear aproximada
para
pequeno, que dá numerador aproximadamente
e o quociente aproximadamente
, confirmando os sinais opostos dos limites laterais.
Passo 6
Conclusão: como os limites laterais não coincidem (
à direita e
à esquerda), o limite bilateral em
não existe (diverge). Não existe um número finito nem um infinito único que seja o limite bilateral.