Sabendo que
e
são soluções da EDO:
Encontre a solução geral desta EDO.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e as seguintes informações:
Dados conhecidos:
O que se pede:
- Encontrar a solução geral
da EDO no intervalo .
Passo 2
Primeiro transformamos a equação para a forma padrão
dividindo tudo por
(que é não nulo para
):
Aqui definimos
Passo 3
Verificamos que
e
são soluções da homogênea associada (isto já foi dado), e calculamos o Wronskiano para confirmar independência linear:
Em
temos
, então
e
formam um sistema fundamental da homogênea.]
Passo 4
Usaremos o método de variação de parâmetros. A fórmula prática para uma equação na forma
com soluções fundamentais
é:
e uma solução particular é
, onde
são primitivas de
.
Passo 5
Calculamos
e
usando
,
,
e
:
Observe que os fatores
e parte das exponenciais simplificaram-se, dando expressões simples para
e
.
Passo 6
Integramos para obter
e
. Para
é imediato:
Para
calculamos
Fazemos integração por partes para
. Seja
e
. Então
e
. Assim
Multiplicando por
obtemos
Podemos escolher as constantes de integração iguais a zero porque qualquer constante seria absorvida pela solução homogênea.
Passo 7
Construímos a solução particular
:
Simplificamos o produto de exponenciais usando
.
Passo 8
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
onde
são constantes arbitrárias.