Sabendo que y_{1}(t)=e^{t} e y_{2}(t)=t são soluções da EDO:
(1-t) \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+t \frac{d y}{d t}-y=2(1-t)^{2} e^{-t}, 0<t<1
Encontre a solução geral desta EDO.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e as seguintes informações:
(1-t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}-y=2(1-t)^{2}e^{-t},\quad 0<t<1
Dados conhecidos:
y_{1}(t)=e^{t}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=t
O que se pede:
  • Encontrar a solução geral y(t) da EDO no intervalo (0,1).

Passo 2

Primeiro transformamos a equação para a forma padrão y''+p(t)y'+q(t)y=r(t) dividindo tudo por (1-t) (que é não nulo para 0<t<1):
y''+\frac{t}{1-t}y'-\frac{1}{1-t}y=2(1-t)e^{-t}.
Aqui definimos
p(t)=\frac{t}{1-t},\qquad q(t)=-\frac{1}{1-t},\qquad r(t)=2(1-t)e^{-t}.

Passo 3

Verificamos que y_{1} e y_{2} são soluções da homogênea associada (isto já foi dado), e calculamos o Wronskiano para confirmar independência linear:
W(t)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{t} & t\\[4pt] e^{t} & 1 \end{vmatrix} = e^{t}\cdot 1 - e^{t}\cdot t = e^{t}(1-t).
Em (0,1) temos e^{t}(1-t)\neq 0, então y_{1} e y_{2} formam um sistema fundamental da homogênea.]

Passo 4

Usaremos o método de variação de parâmetros. A fórmula prática para uma equação na forma y''+p(t)y'+q(t)y=r(t) com soluções fundamentais y_{1},y_{2} é:
u_{1}'(t)=-\frac{r(t)\,y_{2}(t)}{W(t)},\qquad u_{2}'(t)=\frac{r(t)\,y_{1}(t)}{W(t)},
e uma solução particular é y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}, onde u_{1},u_{2} são primitivas de u_{1}',u_{2}'.

Passo 5

Calculamos u_{1}' e u_{2}' usando r(t)=2(1-t)e^{-t}, y_{1}=e^{t}, y_{2}=t e W=e^{t}(1-t):
u_{1}'(t)=-\frac{2(1-t)e^{-t}\cdot t}{e^{t}(1-t)}=-2t e^{-2t},
u_{2}'(t)=\frac{2(1-t)e^{-t}\cdot e^{t}}{e^{t}(1-t)}=2.
Observe que os fatores 1-t e parte das exponenciais simplificaram-se, dando expressões simples para u_{1}' e u_{2}'.

Passo 6

Integramos para obter u_{1} e u_{2}. Para u_{2} é imediato:
u_{2}(t)=\int 2\,dt=2t.
Para u_{1} calculamos
u_{1}(t)=\int -2t e^{-2t}\,dt.
Fazemos integração por partes para \int t e^{-2t}\,dt. Seja a=t e dv=e^{-2t}dt. Então da=dt e v=-\tfrac{1}{2}e^{-2t}. Assim
\int t e^{-2t}dt = -\tfrac{1}{2}t e^{-2t} + \tfrac{1}{2}\int e^{-2t}dt = -\tfrac{1}{2}t e^{-2t} - \tfrac{1}{4}e^{-2t}.
Multiplicando por -2 obtemos
u_{1}(t)= -2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}t e^{-2t} - \tfrac{1}{4}e^{-2t}\right) = \frac{2t+1}{2}e^{-2t}.
Podemos escolher as constantes de integração iguais a zero porque qualquer constante seria absorvida pela solução homogênea.

Passo 7

Construímos a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}:
y_{p}(t)=\frac{2t+1}{2}e^{-2t}\cdot e^{t} + (2t)\cdot t = \frac{2t+1}{2}e^{-t} + 2t^{2}.
Simplificamos o produto de exponenciais usando e^{-2t}\cdot e^{t}=e^{-t}.

Passo 8

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t + \frac{2t+1}{2}e^{-t} + 2t^{2},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t+\dfrac{2t+1}{2}e^{-t}+2t^{2}

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