calcular los momentos de inercia indicados
De un círculo de radio r respecto de su tangente

Passo 1

O enunciado pede: calcular o momento(s) de inércia de um círculo de raio r em relação à sua tangente. As informações dadas explícitas são:
  • o raio do círculo: \;r.
  • não foi dado explicitamente a massa; adoto a convenção usual e chamo a massa total de \;M.
    Vou considerar os dois casos que aparecem com frequência em exercícios (como professor pode pedir qualquer um deles):
  1. círculo fino (anel/circunferência de massa M concentrada na borda);
  2. disco sólido (lamina circular homogênea de massa M preenchida).
    O que se pede em cada caso é o momento de inércia em relação a uma reta tangente à circunferência, paralela ao eixo que passa pelo centro e perpendicular ao plano do círculo (ou seja, eixo tangente paralelo ao eixo central usual).

Passo 2

Relembrando o conceito e a fórmula fundamental: o momento de inércia relativo a um eixo é dado por
I=\int r_{\perp}^{2}\,dm,
onde \;r_{\perp} é a distância perpendicular de cada elemento de massa dm até o eixo de rotação. Explicando as variáveis:
  • \;I é o momento de inércia procurado (unidade: \mathrm{kg\cdot m^{2}} no SI).
  • \;dm é um elemento infinitesimal de massa da distribuição.
  • \;r_{\perp} depende da posição do elemento de massa em relação ao eixo escolhido.
Também será útil o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner): se \;I_{\text{CM}} é o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, então o momento em relação a um eixo paralelo deslocado de distância \;d é
I=I_{\text{CM}}+M d^{2},
onde \;M é a massa total e \;d é a distância entre os eixos. Vou usar isso para os dois cases (quando for conveniente).

Passo 3

Caso 1 — círculo fino (anel de massa M e raio r).
Para um anel fino a massa está concentrada a uma distância r do centro. O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano da figura é
I_{\text{centro}}=M r^{2}.
Agora queremos o momento em relação a uma reta tangente, paralela a esse eixo central e a uma distância d=r do centro (a tangente fica a uma distância igual ao raio). Aplicando o teorema dos eixos paralelos com \;d=r:
I_{\text{tangente}}=I_{\text{centro}}+M d^{2}=M r^{2}+M r^{2}=2 M r^{2}.
Portanto, para o anel fino:
I_{\text{tangente}}=2 M r^{2}.

Passo 4

Caso 2 — disco sólido homogêneo (lamina circular de massa M e raio r) — cálculo do momento de inércia em relação ao eixo central (perpendicular ao plano) via integração em coordenadas polares.
Dividimos a área do disco em anéis elementares de espessura s (usarei s como coordenada radial), de raio s e espessura radial ds. A área do anel elementar é dA=2\pi s\,ds. Se \sigma é a densidade superficial (massa por unidade de área), então
\sigma=\frac{M}{\pi r^{2}}.
O elemento de massa é
dm=\sigma\,dA=\sigma\,2\pi s\,ds.
Para o eixo central perpendicular ao plano, cada ponto no anel está à distância s do eixo, então o contributo ao momento de inércia desse anel é s^{2}\,dm. Assim:
I_{\text{centro}}=\int s^{2}\,dm =\int_{0}^{r} s^{2}\left(\sigma\,2\pi s\,ds\right) =\sigma\,2\pi\int_{0}^{r} s^{3}\,ds.
Calcule a integral:
\int_{0}^{r} s^{3}\,ds=\left.\frac{s^{4}}{4}\right|_{0}^{r}=\frac{r^{4}}{4}.
Substituindo:
I_{\text{centro}}=\sigma\,2\pi\cdot\frac{r^{4}}{4}=\sigma\,\frac{\pi r^{4}}{2}.
Agora substitua \sigma=\dfrac{M}{\pi r^{2}}:
I_{\text{centro}}=\frac{M}{\pi r^{2}}\cdot\frac{\pi r^{4}}{2}=\frac{1}{2}M r^{2}.
Portanto, para o disco sólido:
I_{\text{centro}}=\frac{1}{2}M r^{2}.

Passo 5

Aplicando o teorema dos eixos paralelos para o disco sólido: queremos o momento em relação a uma reta tangente, a distância \;d=r do centro. Então
I_{\text{tangente}}=I_{\text{centro}}+M d^{2}=\frac{1}{2}M r^{2}+M r^{2}=\frac{3}{2}M r^{2}.
Expliquei antes o significado de cada termo: \;I_{\text{centro}} é o momento em torno do eixo que passa pelo centro; somando M d^{2} deslocamos o eixo para a tangente.

Passo 6

Resumo e comentários finais (para fixar):
  • Para o anel fino a massa está toda na borda, por isso I_{\text{centro}}=M r^{2} e a tangente fica a distância r, resultando em I_{\text{tangente}}=2 M r^{2}.
  • Para o disco sólido a massa está distribuída por toda a área; via integração obtém-se I_{\text{centro}}=\tfrac{1}{2}M r^{2}, então a tangente dá I_{\text{tangente}}=\tfrac{3}{2}M r^{2}.
    Se desejar, posso fazer um pequeno esqueminha numérico para ver ordens de grandeza (ex.: M=1\\ \mathrm{kg}, r=1\\ \mathrm{m}).

Resposta

Para o anel fino (massa M concentrada na borda): \;I_{\text{tangente}}=2 M r^{2}.
Para o disco sólido homogêneo (massa M distribuída na área): \;I_{\text{tangente}}=\tfrac{3}{2} M r^{2}.

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