calcular los momentos de inercia indicados
De un círculo de radio r respecto de su tangente
Passo 1
O enunciado pede: calcular o momento(s) de inércia de um círculo de raio r em relação à sua tangente. As informações dadas explícitas são:
o raio do círculo: \;r.
não foi dado explicitamente a massa; adoto a convenção usual e chamo a massa total de \;M.
Vou considerar os dois casos que aparecem com frequência em exercícios (como professor pode pedir qualquer um deles):
círculo fino (anel/circunferência de massa M concentrada na borda);
disco sólido (lamina circular homogênea de massa M preenchida).
O que se pede em cada caso é o momento de inércia em relação a uma reta tangente à circunferência, paralela ao eixo que passa pelo centro e perpendicular ao plano do círculo (ou seja, eixo tangente paralelo ao eixo central usual).
Passo 2
Relembrando o conceito e a fórmula fundamental: o momento de inércia relativo a um eixo é dado por
I=\int r_{\perp}^{2}\,dm,
onde \;r_{\perp} é a distância perpendicular de cada elemento de massa dm até o eixo de rotação. Explicando as variáveis:
\;I é o momento de inércia procurado (unidade: \mathrm{kg\cdot m^{2}} no SI).
\;dm é um elemento infinitesimal de massa da distribuição.
\;r_{\perp} depende da posição do elemento de massa em relação ao eixo escolhido.
Também será útil o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner): se \;I_{\text{CM}} é o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, então o momento em relação a um eixo paralelo deslocado de distância \;d é
I=I_{\text{CM}}+M d^{2},
onde \;M é a massa total e \;d é a distância entre os eixos. Vou usar isso para os dois cases (quando for conveniente).
Passo 3
Caso 1 — círculo fino (anel de massa M e raio r).
Para um anel fino a massa está concentrada a uma distância r do centro. O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano da figura é
I_{\text{centro}}=M r^{2}.
Agora queremos o momento em relação a uma reta tangente, paralela a esse eixo central e a uma distância d=r do centro (a tangente fica a uma distância igual ao raio). Aplicando o teorema dos eixos paralelos com \;d=r:
I_{\text{tangente}}=I_{\text{centro}}+M d^{2}=M r^{2}+M r^{2}=2 M r^{2}.
Portanto, para o anel fino:
I_{\text{tangente}}=2 M r^{2}.
Passo 4
Caso 2 — disco sólido homogêneo (lamina circular de massa M e raio r) — cálculo do momento de inércia em relação ao eixo central (perpendicular ao plano) via integração em coordenadas polares.
Dividimos a área do disco em anéis elementares de espessura s (usarei s como coordenada radial), de raio s e espessura radial ds. A área do anel elementar é dA=2\pi s\,ds. Se \sigma é a densidade superficial (massa por unidade de área), então
\sigma=\frac{M}{\pi r^{2}}.
O elemento de massa é
dm=\sigma\,dA=\sigma\,2\pi s\,ds.
Para o eixo central perpendicular ao plano, cada ponto no anel está à distância s do eixo, então o contributo ao momento de inércia desse anel é s^{2}\,dm. Assim:
Expliquei antes o significado de cada termo: \;I_{\text{centro}} é o momento em torno do eixo que passa pelo centro; somando M d^{2} deslocamos o eixo para a tangente.
Passo 6
Resumo e comentários finais (para fixar):
Para o anel fino a massa está toda na borda, por isso I_{\text{centro}}=M r^{2} e a tangente fica a distância r, resultando em I_{\text{tangente}}=2 M r^{2}.
Para o disco sólido a massa está distribuída por toda a área; via integração obtém-se I_{\text{centro}}=\tfrac{1}{2}M r^{2}, então a tangente dá I_{\text{tangente}}=\tfrac{3}{2}M r^{2}.
Se desejar, posso fazer um pequeno esqueminha numérico para ver ordens de grandeza (ex.: M=1\\ \mathrm{kg}, r=1\\ \mathrm{m}).
Resposta
Para o anel fino (massa M concentrada na borda): \;I_{\text{tangente}}=2 M r^{2}.
Para o disco sólido homogêneo (massa M distribuída na área): \;I_{\text{tangente}}=\tfrac{3}{2} M r^{2}.