Calcular a massa e o centro de massa de uma chapa com o formato de um triangulo isósceles com base 10 cm e altura 5 cm . Considerar a densidade constante. Resposta: barx=0 e bary=53

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma chapa laminar no formato de triângulo isósceles de base 10 cm e altura 5 cm, com densidade superficial constante de<a. O objetivo é calcular a massa M e o centro de massa (bar x,bar y). Para isso usaremos integrais de área:
  • M=integral duplaR de<a,dA
  • bar x=1Mintegral duplaR x,de<a,dA
  • bar y=1Mintegral duplaR y,de<a,dA

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que a base do triângulo esteja sobre o eixo x, de x=-5 a x=5, e o vértice no ponto (0,5). As retas que limitam a região R são
y=0, y=55(5-|x|)=5-5|x|5=5-|x|,
ou seja, para cada xin[-5,5], y varia de 0 até 5-|x|.

Passo 3

Cálculo da massa:
M=integral duplaR de<a,dA =de<aintegralx=-5^5!integraly=0^5-|x| dy,dx =de<aintegral-5^5(5-|x|),dx
Como a função é par,
integral-5^5(5-|x|),dx =2integral0^5(5-x),dx =2l[5x-tfracx^22r]0^5 =2l(25-tfrac252r) =2cdottfrac252 =25
Logo,
M=25,de<a

Passo 4

Cálculo de bar x: por simetria o triângulo é simétrico em relação ao eixo y, então
bar x=0

Passo 5

Cálculo de bar y:
bar y =1Mintegral duplaR y,de<a,dA =de<a25,de<aintegral-5^5!integral0^5-|x|y,dy,dx =125integral-5^5(5-|x|)^22,dx
De novo usando paridade,
integral-5^5(5-|x|)^2,dx =2integral0^5(5-x)^2,dx =2l[-tfrac(5-x)^33r]0^5 =2cdot1253 =2503
Assim,
bar y =125cdot12cdot2503 =250150 =53

Resposta

M=25,de<a, bar x=0 e bar y=tfrac53.

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