Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo cilindro x^2+ y^2=9 e pelos planos z=2 e z=4, sabendo que a densidade de massa é igual a (x^2+y^2) kgm^3 Resposta: Iz=486 kg cdot m^2

Passo 1

O sólido é o cilindro de raio 3 (pois x^2+y^2=9) com 2<= z<=4. A densidade é rho(x,y,z)=x^2+y^2. Queremos o momento de inércia em torno do eixo z:
Iz=integralV (x^2+y^2),dm
Como dm=rho,dV, precisaremos expressar tudo em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x^2+y^2=r^2, dV=r,dr,dtheta,dz, rho=r^2
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dm=rho,dV =r^2,(r,dr,dtheta,dz) =r^3,dr,dtheta,dz

Passo 3

O integrando para Iz fica
(x^2+y^2),dm =r^2cdot r^3,dr,dtheta,dz =r^5,dr,dtheta,dz
Assim
Iz =integraltheta=0^2piintegralr=0^3integralz=2^4r^5,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos em z e em theta:
integralz=2^4dz = 2, integraltheta=0^2pidtheta = 2pi,
portanto o fator externo é 2cdot2pi=4pi.

Passo 5

Integramos em r:
integral0^3r^5,dr =[r^66]0^3 =3^66 =7296 =121,5
Multiplicando pelo fator 4pi resulta
Iz=4picdot121,5=486pi

Resposta

Iz = 486pi kgcdot m^2

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