Calcular a massa e o centro de massa do sólido delimitado por y=x^2, y=9, z=0 e y+z=9, considerando a densidade de massa igual a |x| kg/m^3.

Passo 1

O enunciado pede a massa e o centro de massa de um sólido S limitado pelas superfícies y=x^2, y=9, z=0 e y+z=9, com densidade rho(x,y,z)=|x|. Vamos usar integrais triplas para calcular a massa
m = integral triplaS rho,dV
e as coordenadas do centro de massa
bar x = 1mintegral triplaS x,rho,dV, bar y = 1mintegral triplaS y,rho,dV, bar z = 1mintegral triplaS z,rho,dV

Passo 2

Descrevemos S em coordenadas cartesianas: primeiro x varia de -3 a 3 (pois y=x^2 atinge y=9 em x=pm3), depois para dado x, y vai de x^2 até 9, e por fim z vai de 0 até 9-y. Logo
m = integralx=-3^3!integraly=x^2^9!integralz=0^9-y |x|,dz,dy,dx

Passo 3

Calculamos a massa integrando em z e y:
integralz=0^9-ydz = 9 - y,
integraly=x^2^9(9-y),dy = l[9y - tfracy^22r]y=x^2^9 = 81 - 18x^2 + x^42
Assim
m = integral-3^3 |x|;81 - 18x^2 + x^42,dx
Como o integrando é par,
m = 2integral0^3 x,81 - 18x^2 + x^42,dx = integral0^3l(81x - 18x^3 + x^5r),dx = 2432

Passo 4

Para bar x:
integral triplaS x,rho,dV = integral-3^3 integralx^2^9integral0^9-y x,|x|,dz,dy,dx
O integrando x|x| é função ímpar em x e o domínio em x é simétrico, logo
bar x = 0

Passo 5

Para bar y calculamos
integral triplaS y,rho,dV = integral-3^3 |x|;integralx^2^9!y(9-y),dy,dx = 2integral0^3 x, l[tfrac2432 - tfrac9x^42 + tfracx^63r]dx = 656112
Então
bar y = 656112 2432 = 92

Passo 6

Para bar z calculamos
integral triplaS z,rho,dV = integral-3^3 |x|;integralx^2^9!(9-y)^22,dy,dx = 2integral0^3 x, l[243 - 81x^2 + 9x^4 - tfracx^63r]12,dx = 656124
Logo
bar z = 656124 2432 = 94

Resposta

m = tfrac2432 kg
(bar x,bar y,bar z) = l(0,tfrac92,tfrac94r)

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