Calcule as integrais iteradas.
integralraizpi^raiz2 x integral0^x^3 sen yx d y d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa integral iterada passo a passo. O enunciado pede para calcular a integral
integralraizpi^raiz2 x integral0^x^3 sin(yx) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que são integrais de funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções envolvendo trigonometria e variáveis dentro de outras variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral interna é em relação a y de 0 até x^3 , e a integral externa é em relação a x de raizpi até raiz2x .
No entanto, há um problema: o limite superior da integral externa, raiz2x , depende de x , o que não faz sentido porque estamos integrando em relação a x . Provavelmente, há um erro de digitação. Vamos supor que o limite superior seja uma constante, digamos raiz2pi . Assim, a integral fica:
integralraizpi^raiz2pi integral0^x^3 sin(yx) , dy , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja:
integral0^x^3 sin(yx) , dy
Para integrar sin(yx) em relação a y , fazemos uma substituição simples. Deixe u = yx , então du = 1x dy ou dy = x , du .

Passo 4

Substituindo na integral:
integral0^x^3 sin(yx) , dy = integral0^x^3 sin(u) cdot x , du = x integral0^x^3/x sin(u) , du = x integral0^x^2 sin(u) , du

Passo 5

Agora, integramos sin(u) em relação a u :
x integral0^x^2 sin(u) , du = x [-cos(u)]0^x^2 = x (-cos(x^2) + cos(0))
Como cos(0) = 1 , a expressão fica:
x (1 - cos(x^2))

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralraizpi^raiz2pi x (1 - cos(x^2)) , dx = integralraizpi^raiz2pi x , dx - integralraizpi^raiz2pi x cos(x^2) , dx

Passo 7

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
integralraizpi^raiz2pi x , dx = [x^22]raizpi^raiz2pi = (raiz2pi)^22 - (raizpi)^22 = 2pi2 - pi2 = pi2
Segunda integral:
integralraizpi^raiz2pi x cos(x^2) , dx
Para essa integral, fazemos a substituição u = x^2 , então du = 2x , dx ou du2 = x , dx .

Passo 8

Substituindo:
integralraizpi^raiz2pi x cos(x^2) , dx = 12 integral(raizpi)^2^(raiz2pi)^2 cos(u) , du = 12 integralpi^2pi cos(u) , du
Integrando cos(u) :
12 [sin(u)]pi^2pi = 12 (sin(2pi) - sin(pi)) = 12 (0 - 0) = 0

Passo 9

Agora, juntando os resultados das duas integrais:
pi2 - 0 = pi2

Resposta

O valor da integral iterada é pi2 .

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