Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa integral iterada passo a passo. O enunciado pede para calcular a integral
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que são integrais de funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções envolvendo trigonometria e variáveis dentro de outras variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral interna é em relação a
de
até
, e a integral externa é em relação a
de
até
.
No entanto, há um problema: o limite superior da integral externa,
, depende de
, o que não faz sentido porque estamos integrando em relação a
. Provavelmente, há um erro de digitação. Vamos supor que o limite superior seja uma constante, digamos
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja:
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
ou
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, integramos
em relação a
:
Como
, a expressão fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 7
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Para essa integral, fazemos a substituição
, então
ou
.
Passo 8
Substituindo:
Integrando
:
Passo 9
Agora, juntando os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral iterada é
.