Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando R como uma regiăo do tipo I e (b) tratando R como uma regiāo do tipo II.
integralegral duplaR(3 x+2 y) d A ; R é a região delimitada pelas parábolas y=x^2 e y=3 x-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaR(3x+2y),dA
onde R é a região no plano delimitada pelas parábolas
y = x^2 e y = 3x - x^2
O objetivo é montar a integral iterada de duas maneiras:
a) como região do tipo I (integramos primeiro em y e depois em x),
b) como região do tipo II (integramos primeiro em x e depois em y).

Passo 2

Para a descrição tipo I, encontramos os pontos de interseção das duas parábolas resolvendo
x^2 = 3x - x^2 ;Longrightarrow; 2x^2 - 3x = 0 ;Longrightarrow; x=0,;;x=tfrac32
Logo
0 <= x <= tfrac32, x^2 <= y <= 3x - x^2,
e a integral vira
integralx=0^3/2 l(,integraly=x^2^3x-x^2(3x+2y),dyr) dx

Passo 3

Calculemos a integral interna em y:
integraly=x^2^3x-x^2(3x+2y),dy = l[,3x,y + y^2r]y=x^2^,y=3x-x^2 = 18x^2 - 12x^3
Agora integramos em x:
integral0^3/2(18x^2 -12x^3),dx = l[6x^3 - 3x^4r]0^3/2 = 6l(tfrac278r) - 3l(tfrac8116r) = tfrac8116

Passo 4

Para a descrição tipo II, primeiro determinamos o intervalo de y. O valor mínimo de y é 0 (na interseção em x=0) e o máximo é
ymax=3l(tfrac32r)-l(tfrac32r)^2 =tfrac94
Em cada nível y, o ponto esquerdo da região vem de
y = 3x - x^2 ;Longrightarrow; x = 3 - raiz9-4y2,
e o ponto direito vem de
y = x^2 ;Longrightarrow; x = raizy
Logo
0 <= y <= tfrac94, 3 - raiz9-4y2 ;<=; x ;<=; raizy,
e a integral é
integraly=0^9/4 l(,integralx=(3 - raiz9-4y)/2^raizy(3x+2y),dxr) dy

Passo 5

Calculemos a integral interna em x:
integral(3x+2y),dx = 3x^22 + 2y,x,
avaliada de xL=(3 - raiz9-4y)/2 a xR=raizy. Após simplificar essa diferença obtém-se, para cada y, a função
8y^3/2-27 + (9+4y)raiz9-4y4

Passo 6

Restam duas integrais em y. Escrevemos
integral duplaR(3x+2y),dA =14 integral0^9/4!l(8y^3/2-27r),dy +14 integral0^9/4!(9+4y)raiz9-4y,dy
A primeira parte dá
integral0^9/4(8y^3/2-27),dy = -tfrac72920,
e a segunda, usando u=9-4y, dá
integral0^9/4(9+4y)raiz9-4y,dy = tfrac56710
Somando e multiplicando por 1/4 resulta
tfrac14l(-tfrac72920+tfrac56710r) = tfrac8116

Resposta

O valor da integral dupla é
boxed8116

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