Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando
como uma regiăo do tipo I e (b) tratando
como uma regiāo do tipo II.
é a região delimitada pelas parábolas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região no plano delimitada pelas parábolas
O objetivo é montar a integral iterada de duas maneiras:
a) como região do tipo I (integramos primeiro em e depois em
),
b) como região do tipo II (integramos primeiro em e depois em
).
a) como região do tipo I (integramos primeiro em
b) como região do tipo II (integramos primeiro em
Passo 2
Para a descrição tipo I, encontramos os pontos de interseção das duas parábolas resolvendo
Logo
e a integral vira
Passo 3
Calculemos a integral interna em
:
Agora integramos em
:
Passo 4
Para a descrição tipo II, primeiro determinamos o intervalo de
. O valor mínimo de
é
(na interseção em
) e o máximo é
Em cada nível
, o ponto esquerdo da região vem de
e o ponto direito vem de
Logo
e a integral é
Passo 5
Calculemos a integral interna em
:
avaliada de
a
. Após simplificar essa diferença obtém-se, para cada
, a função
Passo 6
Restam duas integrais em
. Escrevemos
A primeira parte dá
e a segunda, usando
, dá
Somando e multiplicando por
resulta
Resposta
O valor da integral dupla é