Calcule as integrais duplas.
integralegral dupla x cos y d A ; R é a região triangular delimitada pelas retas y=0, y=x e x=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR xcos y,dA,
onde R é o triângulo delimitado por y=0, y=x e x=1.
O conteúdo envolve definição de integrais iteradas em coordenadas cartesianas e uso de integração por partes.

Passo 2

Descrevemos R por
R = (x,y)mid 0 <= x <= 1,;0 <= y <= x,
então podemos escrever
integral duplaR xcos y,dA =integralx=0^1!integraly=0^x xcos y,dy,dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em y, tratando x como constante:
integraly=0^x xcos y,dy = xintegral0^xcos y,dy = xl[sin yr]0^x = xsin x
Logo a integral fica
integral0^1 xsin x,dx

Passo 4

Para integral0^1 xsin x,dx usamos integração por partes, com
u = x, dv = sin x,dx ;Longrightarrow; du = dx, v = -cos x
Então
integral xsin x,dx = -xcos x + integralcos x,dx = -xcos x + sin x + C

Passo 5

Avaliamo de 0 a 1:
l[-xcos x + sin xr]0^1 = l(-cos 1 + sin 1r) - (0 + 0) = sin 1 - cos 1

Resposta

sin 1 - cos 1

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