Calcular a massa e as coordenadas do centro de massa dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas, supondo a densidade de massa constante.
x^2+y^2+z^2-2z=0

Passo 1

O enunciado pede massa e centro de massa de um sólido homogêneo de densidade constante rho delimitado pela superfície
x^2+y^2+z^2-2z=0
Fazendo completar o quadrado em z, temos
x^2+y^2+(z-1)^2=1,
ou seja, é a esfera de raio 1 centrada em (0,0,1). Vamos usar o fato de que o volume de uma esfera de raio R é tfrac4pi R^33 e aplicar simetria para achar o centro de massa.

Passo 2

Cálculo da massa . Como é constante,
e para uma esfera de raio ,
Portanto

Passo 3

Cálculo de xcm e ycm. Por simetria a distribuição é uniforme e simétrica em torno dos planos y!z e x!z, logo
xcm =1MintegralVx,rho,dV = 0, ycm =1MintegralVy,rho,dV = 0

Passo 4

Cálculo de . Escrevemos
Como a esfera está centrada em , a parte integra zero por simetria, isto é,
Logo

Resposta

M = rho,tfrac4pi3
(xcm,ycm,zcm) = (0,0,1)

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