Calcular a massa e as coordenadas do centro de massa dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas, supondo a densidade de massa constante.
Passo 1
O enunciado pede massa e centro de massa de um sólido homogêneo de densidade constante
delimitado pela superfície
Fazendo completar o quadrado em
, temos
ou seja, é a esfera de raio
centrada em
. Vamos usar o fato de que o volume de uma esfera de raio
é
e aplicar simetria para achar o centro de massa.
Passo 2
Cálculo da massa
. Como
é constante,
e para uma esfera de raio
,
Portanto
Passo 3
Cálculo de
e
. Por simetria a distribuição é uniforme e simétrica em torno dos planos
e
, logo
Passo 4
Cálculo de
. Escrevemos
Como a esfera está centrada em
, a parte
integra zero por simetria, isto é,
Logo